Рассмотрим две вещественные квадратичные формы 
и 
. Можно ли заданные формы единым преобразованием привести к каноническому виду? Эту задачу помогают решить результаты, относящиеся к линейным операторам. Мы рассмотрим случай, когда одна из этих квадратичных форм, например 
, является положительно определенной. Тогда выполняем сначала преобразование 
, которое приводит форму к нормальному виду (сумме квадратов переменных). При этом форма 
перейдет в новую форму от переменных 
. На следующем шаге выполняется ортогональное преобразование 
, которое приводит форму к каноническому виду. Квадратичная форма при этом не изменится, так как ее матрица является единичной, а 
.
Итак, результирующим преобразованием, которое приведет обе квадратичные формы к каноническому виду, причем положительно определенную представит в виде суммы квадратов, будет 
.
Задача 5.1. Для заданной пары квадратичных форм найти невырожденное линейное преобразование, которое приводит эти формы к каноническому виду.
Решение.
Перепишем формы и в виде 
и 
, где 
, 
- матрицы соответствующих квадратичных форм.
Так как 
, то согласно критерию Сильвестра, форма является положительно определенной. Поэтому по ней можно восстановить соответствующую билинейную форму и ввести в 
скалярное произведение 
.
Оно удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения (положительная определенность формы необходима для выполнения аксиомы 4, а именно 
).
Рассмотрим стандартный базис в : 
.
Используя введенное скалярное произведение, ортогонализируем его:
Нормируем вектора 
и получаем ОНБ в , в котором билинейная форма (следовательно, и квадратичная форма ) будет иметь единичную матрицу.
Матрица перехода от старого базиса к новому задает матрицу 
невырожденного преобразования переменных квадратичных форм и .
.
Действительно,
.
Аналогично,
Далее используем метод приведения квадратичной формы к главным осям.
Характеристический многочлен
имеет три корня 
, которым соответствуют следующие собственные вектора: 
. Они являются попарно ортогональными, так как соответствуют разным собственным значениям, и образуют собственный ортогональный базис. Осталось его пронормировать:
.
Теперь составляем ортогональную матрицу, столбцами которой являются векторы 
, 
,
.
Тогда матрица 
и будет искомой матрицей невырожденного линейного преобразования переменных
приводящего формы и к каноническому виду
,
.
Задача решена.
Список литературы
1. Завало С.Т., Костарчук В.Н., Хацет Б.И. Алгебра и теория чисел, ч.1. – К.: Вища школа, 1980.
2. Кострикин А. И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.
3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1975.
4. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. М., Наука, 1974.
