Собственные векторы и собственные значения.

Процедура вычисления собственных значений и собственных векторов (собственных подпространств) линейного оператора вытекает из соответствующего теоретическоо материала. Продемонстрируем ее на конкретном примере.

Задача 3.4. Найдите собственные значения и собственные подпространства оператора (необходимо самостоятельно проверить линейность)

.

Решение. 1) Строим матрицу оператора в стандартном базисе пространства (предполагаем, что линейность оператора проверена):

, .

2) Составляем характеристическую матрицу , вычисляем ее определитель и находим корни характеристического многочлена.

;

;

Оба корня принадлежат полю и являются собственными значениями оператора; - кратности 1; - кратности 2.

3) Составляем систему линейных однородных уравнений с матрицей и находим ее фундаментальную систему решений:

Система ранга 2. Множество ее решений - одномерное пространство, линейно независимых решений. Легко находим ее фундаментальную систему решений - . Собственное подпространство, относящееся к

4) Составляем систему линейных однородных уравнений с матрицей и находим ее фундаментальную систему решений:

Система ранга 2. Множество ее решений также является одномерным пространством. Легко находим ФСР - . Собственное подпространство, относящееся к

Задача решена.

Замечание 1. Если оператор задан своей матрицей, то пункт 1) не нужен.

Замечание 2. Если в процессе решения получилась несовместная система, то допущена ошибка (неверно вычислен характеристический многочлен, найденное не является собственным значением или допущена ошибка в вычислении коэффициентов системы линейных уравнений или в процессе решения системы).

Замечание 3. Полезно помнить, что размерность собственного подпространства, относящегося к собственному значению у любого линейного оператора не превышает (меньше или равна) кратности этого собственного значения, как корня характеристического многочлена (геометрическая кратность собственного значения его алгебраической кратности). Например, в задачах №№1465, 1466, 1481 есть собственные значения с алгебраической кратностью 3, а их геометрическая кратность соответственно равна 1,2 и 3.

Замечание 4. В учебных примерах, как правило, корни характеристического многочлена вычисляются точно. На практике часто приходится довольствоваться их приближениями. Возникающие при этом проблемы достаточно сложны и здесь не обсуждаются.