Пусть 
и 
- два произвольных линейных пространства. Как известно, оператором, действующим из в называется отображение пространства в пространство . Если отображение обозначить символом 
, то это записывают так:
.
Образ вектора 
обозначают 
или 
и называют значением оператора на векторе . По определению 
.
Оператор называют линейным оператором, если и - пространства над одним и тем же полем 
и при этом
1. 
(аддитивность оператора);
2. 
(однородность оператора).
Понятие линейного оператора является одним из важнейших в математике. Это подтверждается хотя бы тем, что основные операторы, изучаемые в математическом анализе и алгебре (предельный переход, дифференцирование, интегрирование, проектирование на подпространство, умножение на матрицу и др.) являются линейными.
Оператор 
называют также преобразованием пространства .
Основные типы задач по этой теме:
a) проверка линейности заданного оператора;
b) нахождение образа, ядра, ранга и дефекта линейного оператора;
c) построение матрицы линейного оператора в данных базисах (в данном базисе);
d) нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора (№№1465-1484);
e) построение канонического базиса и жордановой нормальной формы линейного оператора (№№1529-1536).
Основная трудность задач первой группы состоит в том, что примеры операторов могут быть взяты из различных разделов математики и требуют от студента эрудиции и определенной математической культуры. Приведем несколько примеров.
Задача 3.1. Проверьте линейность следующих операторов:
1. 
.
2. 
(
-пространство многочленов степени 
над некоторым полем).
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
. Определим оператор 
так: если 
и 
, то 
(оператор проектирования на 
параллельно 
).
7. 
(
- фиксированный вектор).
Решение.
1. 
является отображением. Проверим аддитивность и однородность.
.
.
Все условия выполнены, значит, является линейным оператором.
5. 
.
,
.
.
. Теперь проверяем аддитивность и однородность. Напомним: если 
, то 
и 
.
Находим 
.
Точно так же
.
Все условия определения линейного оператора выполнены.
- линейный оператор.
Линейный оператор нулевой вектор отображает в нулевой (
). Поэтому, если 
, то нелинейный. Рекомендуем в подозрительных случаях прежде, чем начинать проверку аддитивности и однородности, вычислить значение оператора на нулевом векторе. Так в упражнении 2 
- нелинейный. В упражнении 3 
- нелинейный.
Для доказательства нелинейности достаточно привести пример двух векторов, для которых нарушена аддитивность, или пример вектора или скаляра, для которых не выполнена однородность (равенство 
может иметь место и для нелинейных операторов). Например: в упражнении 7 настораживает то, что текущий вектор 
находится под знаком 
. Поэтому проверку ведем на конкретных векторах.
Очевидное неравенство 
доказывает неаддитивность 
и его нелинейность.
В этом же примере можно поступить и так:
Поэтому оператор неоднороден, следовательно, и нелинеен.
Проверку линейности операторов из упражнений 4 и 6 предоставляем читателю.
Чтобы глубже понять определение линейного оператора, придумайте примеры:
1. оператора аддитивного, но не однородного;
2. оператора однородного, но не аддитивного.
