Образом линейного оператора 
называется множество всех векторов вида 
. Если 
, то образ есть подмножество из 
. Его обозначают 
или 
.
Если - линейный оператор, то 
, где 
- какой-либо базис пространства 
.
Ядро линейного оператора - это множество тех 
, для которых 
. Ядро линейного оператора (обозначается 
) – подпространство пространства . Полезно уметь находить ядра и образы линейных операторов, их размерности (дефект и ранг).
Задача 3.2. Найти образ, ядро, ранг и дефект оператора 
(оператор двойного векторного умножения).
Решение. Будем считать, что мы уже убедились в линейности оператора .
Вычисление образа. Возьмем стандартный базис пространства 
: 
. Находим
(подпространство одномерное).
.
Вычисление ядра. Пусть 
. Это означает, что 
или 
Отсюда 
где 
. Другими словами 
, а дефект 
.
(В нашем примере 
, но это не общее правило). Можно было воспользоваться формулой для двойного векторного произведения. Но решение вряд ли упростилось бы от этого.
Как правило, нахождение ядра в конце концов сводится к решению системы линейных однородных уравнений относительно координат произвольного вектора ядра. В рассмотренном нами примере эта система оказалась очень простой
что позволило нам сразу записать общее решение 
.
Матрица линейного оператора в данных базисах.
Обязательно нужно научиться строить матрицу линейного оператора в данных базисах. Но кроме этого, еще раз обратим наше внимание на следующую теорему: каждый линейный оператор из в однозначно определяется своими значениями на каком-либо базисе пространства . Эта теорема позволяет строить примеры различных операторов, удовлетворяющих наперед заданным свойствам.
Задача 3.3. Для каждого из нижеперечисленных условий постройте пример линейного оператора 
:
-
. -
. -
. -
, где 
. - На
действует как тождественный, но 
. - Каждое
переводит в себя, но .
Решение. 1. Возьмем какой-либо базис в 
, например, стандартный
.
Так как 
, то из условия следует 
. Для определенности возьмем 
. Определим на базисе так:
Этими условиями линейный оператор полностью определен.
Если 
то по нашему определению
Легко убеждаемся, что .
Действительно, 
- это множество тех , для которых 
, то есть 
.
6. Так как необходимо построить такой линейный оператор , который каждое переводит в себя, но , то будем считать, что система 
является линейно независимой, а значит, является базисом . Определим на базисе так:
Можно проверить, что таким образом введенный операторм является линейным и удовлетворяет всем необходимым условиям.
