Сумма и пересечение подпространств.

Пусть - данные подпространства пространства. Обычно их задают в виде линейных оболочек систем векторов или как множества решений некоторых однородных систем линейных уравнений, а сами векторы- координатными строками в некотором базисе. Вычисление не составляет особого труда: это ранг объединения базисов или порождающих систем подпространств и . находится по формуле

. (3)

Несколько сложнее обстоит дело с поиском базиса пересечения . В общем виде этот вопрос рассматривается в задаче №1319 [4]. Здесь же мы укажем, как найти решения конкретных задач (№№ 1320-1322 [4]). Задачу 1.6 мы решим двумя способами, второй - с помощью схемы Штифеля (предполагаем, что №1319 вы уже разобрали).

Задача 1.6. Найти базис суммы и пересечения подпространств, натянутых на системы векторов

и

Решение. Обозначим , . Будем считать, что координаты векторов заданы в единичном базисе .

1 способ. Как известно, базисом суммы служит любая база системы векторов , . Его построение сводится к вычислению ранга матрицы, строками которой являются координаты векторов последней системы. Кроме того, базис суммы можно получить, добавляя к базису первого подпространства некоторые из векторов базиса второго подпространства.

Итак, . Базис составляют .

. Базис составляют .

.

Базис составляют . По формуле (3) получаем . Базис пересечения будем искать из условия . Значит, представим в виде и . Приравниваем правые части . Это равенство эквивалентно системе трех линейных однородных уравнений с четырьмя неизвестными. Нужно решить эту систему и построить ФСР. Тогда будет образовывать базис пересечения.

Решив систему, строим ФСР.

Вектор образует базис .

2 способ. 1) Составим таблицу Штифеля для объединенной системы векторов , и перебрасываем наверх сначала векторы , пока это возможно (квадратиками выделены разрешающие элементы). Векторы , переходящие налево, не пишем и их координаты не вычисляем.

 

 

а)					б)
						-3
						-1	-2
	-5	-2				-1
						-7
	-1

 

в)
	-7

 

Перебросить наверх вместо невозможно. Следовательно, =2, а базис составляют , . Исключаем из таблицы строку и перебрасываем наверх вместо оставшихся .

г)
	-7
		-19	-7

 

Из таблицы г) получаем: , то есть и базис суммы образуют векторы , , .

2) Продолжаем работу с таблицей г), перебрасывая наверх вместо находящихся наверху , пока это возможно. Как и выше, векторы, уходящие налево, опускаем.

 

д)
			-7

 

Вектор перебросить наверх вместо невозможно. Приходим к выводу, что , базис составляют , . По (3) .

3) Возвращаемся к таблице г). Вектор , вошедший в базис , представим через базис суммы в виде:

Отсюда находим .

Вектор и , а так как , то образует базис пересечения . Оба представления вектора дают один результат , что подтверждает правильность вычислений. Задача решена.

Для более полного усвоения понятия суммы, прямой суммы подпространств полезно решить задачи №№1323-1329 [4].

Задача 1.7. Для подпространства , натянутого на векторы , найти дополнительное подпространство.

Решение. Для любого подпространства линейного пространства всегда найдется дополнительное подпространство , то есть такое подпространство, что . Причем, оно определяется неоднозначно. Найдем одно из таких подпространств. Для этого мы должны найти базис подпространства и дополнить его до базиса всего пространства . Пусть - базис . Тогда .

Найдем базис и размерность .

.

Базис - . Так как - сумма прямая, то . Чтобы найти базис дополним базис до базиса всего пространства векторами , .

. Итак, .