Пусть 
- данные подпространства пространства. Обычно их задают в виде линейных оболочек систем векторов или как множества решений некоторых однородных систем линейных уравнений, а сами векторы- координатными строками в некотором базисе. Вычисление 
не составляет особого труда: это ранг объединения базисов или порождающих систем подпространств 
и 
. 
находится по формуле
. (3)
Несколько сложнее обстоит дело с поиском базиса пересечения 
. В общем виде этот вопрос рассматривается в задаче №1319 [4]. Здесь же мы укажем, как найти решения конкретных задач (№№ 1320-1322 [4]). Задачу 1.6 мы решим двумя способами, второй - с помощью схемы Штифеля (предполагаем, что №1319 вы уже разобрали).
Задача 1.6. Найти базис суммы и пересечения подпространств, натянутых на системы векторов
и 
Решение. Обозначим 
, 
. Будем считать, что координаты векторов заданы в единичном базисе 
.
1 способ. Как известно, базисом суммы служит любая база системы векторов 
, 
. Его построение сводится к вычислению ранга матрицы, строками которой являются координаты векторов последней системы. Кроме того, базис суммы можно получить, добавляя к базису первого подпространства некоторые из векторов базиса второго подпространства.
Итак, 
. Базис составляют 
.
. Базис составляют 
.
.
Базис 
составляют 
. По формуле (3) получаем 
. Базис пересечения будем искать из условия 
. Значит, 
представим в виде 
и 
. Приравниваем правые части 
. Это равенство эквивалентно системе трех линейных однородных уравнений с четырьмя неизвестными. Нужно решить эту систему и построить ФСР. Тогда 
будет образовывать базис пересечения.
Решив систему, строим ФСР.
Вектор 
образует базис .
2 способ. 1) Составим таблицу Штифеля для объединенной системы векторов , и перебрасываем наверх сначала векторы 
, пока это возможно (квадратиками выделены разрешающие элементы). Векторы 
, переходящие налево, не пишем и их координаты не вычисляем.
| а) | 
| 
| 
| б) |
| 
| 
| ||
|
| 
| 
| -3 | ||||||
|
| 
| -1 | -2 |
| |||||
|
| -5 | -2 | 
| 
| -1 |
| |||
|
|
| -7 | |||||||
| -1 |
| |||||||
|
| в) |
|
|
|
|
| |||
|
|
| ||
|
| -7 | ||
|
|
Перебросить наверх вместо невозможно. Следовательно, 
=2, а базис составляют , . Исключаем из таблицы строку и перебрасываем наверх 
вместо оставшихся .
| г) |
|
|
|
|
| -7 | 
| |
|
| -19 | -7 |
Из таблицы г) получаем: 
, то есть 
и базис суммы образуют векторы , , .
2) Продолжаем работу с таблицей г), перебрасывая наверх вместо находящихся наверху , пока это возможно. Как и выше, векторы, уходящие налево, опускаем.
| д) |
|
|
|
|
| -7 |
Вектор перебросить наверх вместо невозможно. Приходим к выводу, что 
, базис составляют , . По (3) .
3) Возвращаемся к таблице г). Вектор , вошедший в базис , представим через базис суммы в виде:
Отсюда находим 
.
Вектор 
и 
, а так как 
, то 
образует базис пересечения . Оба представления вектора дают один результат 
, что подтверждает правильность вычислений. Задача решена.
Для более полного усвоения понятия суммы, прямой суммы подпространств полезно решить задачи №№1323-1329 [4].
Задача 1.7. Для подпространства , натянутого на векторы 
, найти дополнительное подпространство.
Решение. Для любого подпространства линейного пространства 
всегда найдется дополнительное подпространство , то есть такое подпространство, что 
. Причем, оно определяется неоднозначно. Найдем одно из таких подпространств. Для этого мы должны найти базис 
подпространства и дополнить его до базиса всего пространства . Пусть 
- базис . Тогда 
.
Найдем базис и размерность .
.
Базис - 
. Так как 
- сумма прямая, то . Чтобы найти базис дополним базис до базиса всего пространства 
векторами 
, 
.
. Итак, 
.