Лекции.Орг
 

Категории:


Назначение, устройство и порядок оборудования открытого сооружения для наблюдения на КНП командира МСВ


Поездка - Медвежьегорск - Воттовара - Янгозеро: По изначальному плану мы должны были стартовать с Янгозера...


Электрогитара Fender: Эти статьи описывают создание цельнокорпусной, частично-полой и полой электрогитар...

Сумма и пересечение подпространств.



Пусть - данные подпространства пространства. Обычно их задают в виде линейных оболочек систем векторов или как множества решений некоторых однородных систем линейных уравнений, а сами векторы- координатными строками в некотором базисе. Вычисление не составляет особого труда: это ранг объединения базисов или порождающих систем подпространств и . находится по формуле

. (3)

Несколько сложнее обстоит дело с поиском базиса пересечения . В общем виде этот вопрос рассматривается в задаче №1319 [4]. Здесь же мы укажем, как найти решения конкретных задач (№№ 1320-1322 [4]). Задачу 1.6 мы решим двумя способами, второй - с помощью схемы Штифеля (предполагаем, что №1319 вы уже разобрали).

Задача 1.6. Найти базис суммы и пересечения подпространств, натянутых на системы векторов

и

Решение.Обозначим , . Будем считать, что координаты векторов заданы в единичном базисе .

1 способ.Как известно, базисом суммы служит любая база системы векторов , . Его построение сводится к вычислению ранга матрицы, строками которой являются координаты векторов последней системы. Кроме того, базис суммы можно получить, добавляя к базису первого подпространства некоторые из векторов базиса второго подпространства.

Итак, . Базис составляют .

. Базис составляют .

.

Базис составляют . По формуле (3) получаем . Базис пересечения будем искать из условия . Значит, представим в виде и . Приравниваем правые части . Это равенство эквивалентно системе трех линейных однородных уравнений с четырьмя неизвестными. Нужно решить эту систему и построить ФСР. Тогда будет образовывать базис пересечения.

Решив систему, строим ФСР.

Вектор образует базис .

2 способ. 1) Составим таблицу Штифеля для объединенной системы векторов , и перебрасываем наверх сначала векторы , пока это возможно (квадратиками выделены разрешающие элементы). Векторы , переходящие налево, не пишем и их координаты не вычисляем.

 

 

а)   б)  
  -3  
  -1 -2  
-5 -2 -1
  -7  
-1  
         

 

в)
-7

 

Перебросить наверх вместо невозможно. Следовательно, =2, а базис составляют , . Исключаем из таблицы строку и перебрасываем наверх вместо оставшихся .

г)
-7
-19 -7

 

Из таблицы г) получаем: , то есть и базис суммы образуют векторы , , .

2) Продолжаем работу с таблицей г), перебрасывая наверх вместо находящихся наверху , пока это возможно. Как и выше, векторы, уходящие налево, опускаем.

 

д)
-7

 

Вектор перебросить наверх вместо невозможно. Приходим к выводу, что , базис составляют , . По (3) .

3) Возвращаемся к таблице г). Вектор , вошедший в базис , представим через базис суммы в виде:

Отсюда находим .

Вектор и , а так как , то образует базис пересечения . Оба представления вектора дают один результат , что подтверждает правильность вычислений. Задача решена.

Для более полного усвоения понятия суммы, прямой суммы подпространств полезно решить задачи №№1323-1329 [4].

Задача 1.7. Для подпространства , натянутого на векторы , найти дополнительное подпространство.

Решение.Для любого подпространства линейного пространства всегда найдется дополнительное подпространство , то есть такое подпространство, что . Причем, оно определяется неоднозначно. Найдем одно из таких подпространств. Для этого мы должны найти базис подпространства и дополнить его до базиса всего пространства . Пусть - базис . Тогда .

Найдем базис и размерность .

.

Базис - . Так как - сумма прямая, то . Чтобы найти базис дополним базис до базиса всего пространства векторами , .

. Итак, .

 





Дата добавления: 2016-11-12; просмотров: 7702 | Нарушение авторских прав


Рекомендуемый контект:


Похожая информация:

  1. N – суммарное число мест в рекреационных учреждениях
  2. А – приседание; В – жим лежа на скамье; С – тяга; D - сумма
  3. Влияние непосредственных детерминант на величину суммарного коэффициента рождаемости
  4. Выполнение лабораторной работы. Оформите лабораторную работу: запишите заголовок работы, определение одноразрядного сумматора
  5. Данные для выполнения задания. Баланс ООО "Исток" на 01 апреля 20__г. Актив Сумма Пассив Сумма Основные средства 3 000 Уставный капитал 7 500
  6. Данные для выполнения задания. Баланс ООО «Восток» на 1апреля 201_ г. Актив Сумма Пассив Сумма Основные средства 2 285 Уставный капитал 8 300
  7. Данные для выполнения задания. Баланс ткацкой фабрики на 1 июля 201_ г. Актив Пассив № п/п Наименование статей Сумма (тыс
  8. Данные для выполнения задания. Ведомость остатков по синтетическим счетам ОАО «Маяк» на 01.10.201_ г. № п/п Наименование счетов Сумма тыс
  9. Данные для выполнения задачи. Выписка из главной книги остатков по счетам на 01 марта 201_ г. Шифр и наименование счёта Сумма, руб. 01 «Основные средства» 145 900
  10. Данные для выполнения упражнения. Журнал регистрации хозяйственных операций № п/п Содержание операции Сумма (руб.) Перечислено с расчётного счёта в погашение
  11. Данные для выполнения упражнения. Остатки по счетам ООО «Восток-деталь» на 01.08.201_ г. Код счёта Наименование счетов и субсчетов Сумма (тыс
  12. Данные для выполнения упражнения. Остатки по счетам ООО «Импульс» на 01 июля 201_ г. Код счёта Наименование счетов и субсчетов Сумма (тыс


Поиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.004 с.