Линейная алгебра
(решение типовых задач)
Часть 2
Методические указания для студентов 1 курса
Одесса – 2008
Составители: д-р ф-м н., проф. Варбанец П.Д.,
К-т ф-м н., доц. Савастру О.В.
Рецензенты: д-р ф-м н., проф. Евтухов В.М.,
К-т ф-м н., доц. Белозеров Г.С.
Рекомендовано к печати
Ученым советом ИМЭМ Одесского национального университета им. И. И. Мечникова
протокол № 1 от 5 февраля 2008 г.
.
СОДЕРЖАНИЕ
Обозначения…………………………………………………4
1. Линейные пространства …………………………………...5
1.1. Линейные пространства и подпространства………….5
1.2. Базис пространства, его размерность…………………6
1.3. Координаты вектора в данном базисе…………….…11
1.4. Сумма и пересечение подпространств………………12
2. Евклидовы и унитарные пространства ………….…........17
2.1. Процесс ортогонализации Шмидта………………….17
2.2.Ортогональные дополнения…………………………..19
2.3. Ортогональная проекция и перпендикуляр на подпространство……………………………………………………..20
3. Операторы в линейных пространствах…………….........23
3.1. Образ, ядро линейного оператора……………………28
3.2. Матрица линейного оператора в данных базисах…..29
3.3. Собственные векторы и собственные значения..…...31
3.4. Канонический корневой базис и жорданова нормальная форма…………………………………………………….34
4. Операторы в евклидовых и унитарных пространствах..40
5. Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду…………………………………………………………...45
Список литературы………………………………………….51
Линейные пространства и линейные операторы представляют собой начало абстрактной части математики, с которой студенту в дальнейшем неоднократно придется иметь дело.
Эти методические указания по самостоятельной работе студентов предполагают использование следующего задачника:
И.В.Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. М., Наука, 1974.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
В дальнейшем мы будем придерживаться следующих обозначений (если в тексте нет специальной оговорки):
¾ 
- произвольные пространства над некоторым полем 
;
¾ 
- пространство 
- мерных строк (столбцов) с элементами из поля над полем (арифметическое пространство).
В частности
¾ 
- действительное - мерное арифметическое пространство;
¾ 
- комплексное - мерное арифметическое пространство;
¾ 
- пространства геометрических векторов (прямой, плоскости, пространства);
¾ 
- евклидовы пространства (с указанием размерности или без него);
¾ 
- подпространства данного пространства (
- индекс, не связанный с размерностью);
¾ 
векторы рассматриваемого пространства; 
- нулевой вектор;
¾ 
скаляры из данного поля, 
- нуль этого поля;
¾ 
линейные операторы, в отдельных случаях – матрицы;
¾ 
матрицы линейных операторов в базисах соответственно 
;
¾ 
размерности пространств 
;
¾ 
ранги операторов (матриц) 
;
¾ 
скалярное произведение в данном пространстве;
¾ 
векторное произведение в данном пространстве 
.
- ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
Основными типами задач этого параграфа являются следующие:
А) выяснение вопроса, будет ли данное множество с указанными операциями линейным пространством, подпространством;
В) выделение базиса пространства, определение его размерности;
С) вычисление координат вектора в данном базисе;
D) нахождение суммы, пересечения подпространств, их размерностей и базисов.
Линейные пространства и подпространства.
Для решения задач первой группы необходимо знание аксиом линейного пространства (вообще, не следует приниматься за решение задач любого раздела, не ознакомившись предварительно с основными понятиями и теоремами данного раздела). Заметим, что в группе аксиом линейного пространства содержатся требования неограниченной применимости, однозначности и замкнутости линейных операций, которые не выделены под отдельными номерами. Распространенная ошибка: забывают проверить выполнение этих условий.
В тех условиях, когда данное множество состоит из векторов некоторого известного пространства, полезной является следующая теорема (критерий подпространства):
Теорема. Подмножество 
векторов пространства 
над полем является подпространством тогда и только тогда, когда
1. замкнуто относительно сложения, т.е. 
,
2. замкнуто относительно умножения векторов на любые скаляры из основного поля : 
.
Некоторые из задач требуют хорошего знания других разделов курса (элементарной теории матриц, квадратичных форм, систем линейных уравнений). Ниже мы подробнее остановимся на одной из этих задач.
