Канонический корневой базис и жорданова нормальная форма.

Задачи построения канонического корневого базиса (ККБ) и жордановой нормальной формы (ЖНФ) матрицы линейного оператора наиболее сложные, так как 1) большой объем вычислений и 2) приходится опираться на обширный и серьезный теоретический материал.

Рассмотрим сначала задачу о построении ККБ. Так как ККБ линейного пространства есть объединение ККБ корневых подпространств данного оператора, то можно предположить, что мы уже выделили корневые подпространства и имеем дело с одним из них - , относящимся к собственному значению , кратность которого совпадает с .

В лекционном курсе ККБ корневого подпространства был построен в виде системы башен убывающей этажности, нижний этаж которых состоял из линейно независимых собственных векторов, а в каждом столбце нижестоящий вектор получался из непосредственно вышестоящего в результате применения оператора .

 

Процедура практического построения ККБ такова:

1. опираясь на какой-либо базис , строим систему башен, вообще говоря, линейно зависимую;

2. элементарными преобразованиями, сохраняющими башенную структуру, преобразуем систему так, чтобы ее нижний этаж состоял из линейно независимых векторов (этим будет обеспечиваться ЛНЗ всей системы).

 

Для этого элементарные преобразования будем выполнять сразу над целым столбцом: его перемещение, прибавление к другому столбцу (с меньшей этажностью) и т.п.

 

Если - некоторый базис пространства, то исходная система башен, упорядоченных по высоте, имеет вид:

 

Преобразования выполняем слева направо, выбирая их по векторам нижней строки.

Рассмотрим конкретный пример.

Задача 3.5. Постройте ККБ оператора

.

Решение. 1) Строим матрицу оператора в стандартном базисе пространства . Находим образы базисных векторов:

, ,

.

Тогда

.

 

2) Вычисляем характеристический многочлен оператора и собственные значения:

 

 

кратности 4.

Пространство является корневым пространством, относящимся к собственному значению .

3) Берем произвольный базис (например, стандартный) и к каждому его вектору применяем оператор до получения нуля:

 

 

Можно сделать некоторые предварительные выводы: максимальная высота корневого вектора равна 3, поэтому в ЖНФ матрицы оператора будет клетка порядка 3 и, следовательно (так как 4-3=1), одна клетка порядка 1. Хотя этого задача не требует, но мы можем написать ЖНФ матрицы оператора:

.

 

4) Полагаем . Выписываем полученные в 3) векторы (кроме нулей, разумеется) в башню:

 

 

и рассматриваем нижнюю строку.

Замечаем:

а) третий столбец векторов пропорционален (равен) соответствующей части первого, а четвертый - соответствующей части второго. Выбрасываем без сожаления третий и четвертый столбцы.

в) нижний вектор второго столбца пропорционален своему соседу слева. Прибавляем ко второму столбцу первый, умноженный на 1, и получившийся нуль во втором столбце отбрасываем. Таблица примет вид:

 

.

 

Нижняя строка все еще линейно зависима. Ко второму столбцу прибавляем первый, умноженный на 1 (верхний вектор первого столбца, у которого нет соседа справа, в этой операции не участвует), отбрасываем получившийся нуль и приходим к таблице:

 

.

 

Нижняя строка этой таблицы линейно независима, поэтому и вся система векторов линейно независима. Она, занумерованная снизу вверх и слева направо, образует ккб:

Упражнение. Постройте матрицу оператора в базисе . Сравните ее с ЖНФ из 3).

 

ЖНФ матрицы оператора можно отыскать, не выполняя построения ККБ. Число жордановых клеток каждого порядка и максимальный порядок жордановых клеток для каждого собственного значения могут быть вычислены, если известны ранги матриц , где - показатель степени такой, что

( - «момент» стабилизации ранга).

В нашем примере

 

 

 

 

«Момент» стабилизации ранга , так как невозможно по определению ранга.

Есть клетка третьего порядка (и только одна) и, очевидно, еще одна клетка первого порядка (результат, полученный нами в 3)).

Напомним, что в общем случае (, - «момент» стабилизации рангов матриц ) число клеток, относящихся к собственному значению определяется формулами:

клеток порядка : ,

клеток порядка : ,

клеток порядка : ,

…………………………………………

клеток порядка : ,

клеток порядка : .

Следует помнить, что хотя жнф матрицы определена однозначно с точностью до порядка клеток вдоль главной диагонали, ККБ существует бесконечно много. Поэтому не удивительно, если найденный вами ККБ не совпадает с ответом в сборнике задач (но проверить свое решение полезно).

Замечание. Если - ККБ оператора и - матрица перехода от базиса к ККБ, то имеет место равенство:

.

Таким образом нами «попутно» найдена преобразующая матрица Е, приводящая данную матрицу к ЖНФ.