Следствия из преобразований Лоренца

1) Относительность одновременности. Одновременность пространственно разделенных событий относительна. По определе-нию, два события, которые происходят в разных точках х ₁ и x ₂ сис-темы К, являются одновременными, если они происходят в один и тот же момент времени t ₁ = t ₂ (t = 0) по часам, расположенным в

этих точках. При этом предполагается, что часы синхронизированы согласно определению Эйнштейна. В системе К' эти же события произойдут в точках с координатами x ₁′ и x ₂′ в моменты времени t ₁′

и t ₂′. Использовав преобразования Лоренца, покажем, что события,

одновременные в системе К, в системе К' будут происходить в раз-ные моменты времени. Воспользуемся преобразованиями Лоренца

(7.3.6)

t ₁′

− x υ c ²

и t ₂′

− x

υ c ²

(7.4.1)

_υ2

¹ ⁻ _c 2

t −(x

− x)υ c ²

( x

− x

)υ c ²

t ′ =

или

t ′ =

≠ 0.

(7.4.2)

υ²

1 −

υ²

c ²

a _y

Поэтому наблюдатели в сис-

2υ = const

теме К′ зафиксируют эти события

как неодновременные t ₁′ ≠ t ₂′. Спра-

t ₁= t ₂

ведливо и обратное утверждение −

события,

одновременные

в ИСО

x ₁(t ₁)

x ₂(t ₁)

К′, не одновременны в ИСО К. Это

б _y

явление известно как относитель-

К′

1 υ = 0

ность одновременности и возни-

кает из-за ограниченности скоро-

сти распространения взаимодейст-

V =υ

t ₁= t ₂

вий.

x ₁′ =const x ₂′ =const x ′

2) Сокращение длины движу-

Рис. 7.4.1

щихся тел. Длиной движущегося

тела

некоторой

системе

отсчета,

по определению, называется расстояние между двумя точками этой системы координат, с которыми совпадают начало и конец тела в один и тот же момент времени по часам, расположенным в этих же точках используемой системы (рис. 7.4.1). Это значит, что l = х ₂ − х ₁, если t ₂ = t ₁. В собственной системе отсчета К′, в которой рассматри-ваемый объект покоится, собственная длина тела, l ₀ = x ₂′ − x ₁′. Вос-

пользуемся преобразованиями Лоренца (7.3.6).

x ₂′ =

x ₂− υ t ₂

x ₁′ =

x ₁− υ t ₁

⇒ l ₀

= x ₂′ − x ₁′ =

x ₂− x ₁− υ(t ₂− t ₁)

⇒

1 −

υ²

1 −

υ²

1 −

υ²

c ²

l =

⇒

l = l 1−

_υ2

(7.4.3)

c ²

1 −

c ²

Соответственно, длина l линейки, измеренная в ИСО К, всегда меньше l ₀ − так называемой собственной длины, измеренной в системе покоя линейки К′. Это явление называется релятивистским сокраще-нием длин и помимо данного кинематического рассмотрения можетбыть выведено также и динамически из изменения сил, действующих между частицами вещества при его движении.

3) Интервал времени между двумя событиями. Собственным временем τ₀ называется интервал времени между двумя события-ми, которые произошли в одной и той же точке собственной системы: отсчета, связанной с движущимся со скоростью υ объек-том. Это значит, что в системе К' время τ₀ = t ₂′ − t ₁′определяется при

условии, что x ₂′ = x ₁′, т. е. события происходя в одной и той же точке системы К', которая движется равномерно и прямолинейно с скоростью υ. С учетом сказанного из преобразования Лоренца следует

′

υ c

τ₀

τ= t

₋ _t ₌ ^t 2

+ x ₂ υ c

₋ ^t 1

+ x ₁

(7.4.4)

υ²

υ ²

υ²

¹ ⁻ _c 2

7.5. Теорема сложения скоростей в СТО

Формула преобразования скоростей в СТО устанавливает связь между проекциями скорости точки в двух произвольных инерциаль-ных системах отсчета. Пусть в системах отсчета К и К' движение ма-териальной точки определяется координатным способом

x = x (t), y = y (t), z = z (t)и x ′= x ′(t ′), y ′ = y ′(t ′), z ′ = z ′(t ′). (7.5.1)

Тогда проекции скорости

υ _x = dx , υ _y = dy , υ _z = dz и ′ dx ′ ′ dy ′ ′ dz ′ . (7.5.2)

dt dt dt υ _x = dt ′ , υ _y = dt ′ , υ _z = dt ′

Воспользуемся преобразованиями Лоренца (7.3.7) и продиффе-

ренцируем

′ +υ dt ′ ′ ′ dt ′ ′ 2

dx + dx υ c

dx = υ ² , dy = dy, dz = dz, dt = υ² , (7.5.3)

¹ ⁻ _c 2 ¹ ⁻ _c 2

и получим

dx ′ + υ dt ′ ′ + υ

υ _x = = dx = υ _x , (7.5.4)

dt dt ′ ′ υ c ′

+ dx 1 + υ _x υ c

dy ′ _υ2 ′ _υ2

υ y ₌ dy = ¹ ⁻ _c 2 = υ _y 1 ⁻ _c 2 , (7.5.5)

′ ′

dt dt + dx ′ υ c υ c

1 +υ _x

′ 1 − υ²

υ _z = dz = ^υ z c ²

. (7.5.6)

dt ′

1 + υ _x υ c

Выражения (7.5.4−7.5.6) являются формулами преобразования скоростей при переходе от одной системы отсчета в другую (реляти-

вистский закон сложения скоростей).

Если аналогичные действия проделать с обратными преобразо-ваниями Лоренца в форме (7.3.6), то получим выражение для скоро-стей в системе К′ через скорости в системе К.

υ _y 1 − υ² ^υ z 1 − υ²

′ υ _x − υ ′ c ² ′ c ²

υ _x = , υ _y = , υ _z = .(7.5.7)

− υ _x υ c ² 1 − υ _x υ c ² 1 − υ _x υ c ²