Волновой перенос энергии и его характеристики: поток, плотность потока, интенсивность

 

Пусть в некоторой среде распространяется в направлении оси 0 х плоская продольная волна S = A cos(ω t − kx +ϕ). Выделим в среде

элементарный объем V, настолько малый, чтобы скорость движения и деформацию во всех точках этого объема можно было считать оди-наковыми и равными. Выделенный объем обладает кинетической

энергией К = ¹ ₂ m υ². Если масса m = ρΔ V, а υ= ^∂ _∂ ^S _t, то

 

К =

ρ ∂ S

2

V.

(6.5.1)

∂ t

Потенциальная энергия упругой деформации рассматриваемого

объема

П = 1 k (l) 2 =

ESl 0

l 2

=

E

V

ε2,

(6.5.2)

l 0

где

k =

ES

; l 0 − первоначальная

длина

рассматриваемого

объема;

l

ε =

l − относительная деформация объема;

V = Sl −первоначаль-

l 0

ный объем. Используя формулу (6.4.8) и, учитывая, что ε = ∂ S ∂ x, по-лучим

П =	ρυ 2		∂ S 2	(6.5.3)
			V.
		∂ x

 

Тогда полная энергия упругой волны

 

W = K + П =	ρ	∂ S 2			∂ S 2
			+υ			V.
		∂ t			∂ x

Определим плотность энергии, разделив (6.5.4) на объем

w =	W	=	ρ	∂ S 2	+υ			∂ S 2
							.
V
			∂ t				∂ x

 

(6.5.4)

 

 

V

 

 

(6.5.5)

Продифференцируем уравнение плоской продольной волны (6.2.8) по времени t и по координате х и подставим выражения в фор-

 

мулу (6.5.5) учтя, что k ² υ ² = ω²

 

w = ^ρ ₂ A ²ω²sin²(ω t − kx +ϕ)+ υ² k ² A ²sin²(ω t − kx +ϕ)=_{. (6.5.6)}=ρ A ² ω² sin² (ω t − kx +ϕ)

 

Среднее значение квадрата синуса равно 1/2. Соответственно среднее по времени значение плотности энергии в каждой точке сре-ды равно

 

w =		ρ A	ω.	(6.5.7)

Таким образом, плотность энергии и среднее значение плотно-сти энергии пропорциональны плотности среды ρ, квадрату частоты ω и квадрату амплитуды волны А.

 

Количество энергии, переносимое волной через некоторую по-верхность в единицу времени, называется потоком энергии через эту поверхность. Поток энергии Ф через данную поверхность равен энер-гии dW переносимой за время dt

Ф = dW.	(6.5.8)
dt

 

Ф измеряется в ваттах.

 

Для характеристики распространения энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, называема плотностью потока энергии. Плотность потока энергии численно равна потокуэнергии через единичную площадку S, помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению, в котором переносится энергия. На-правление вектора плотности потока энергии совпадает с направлени-

 

ем переноса энергии.

 

Если через площадку S, перпендикулярную к направлению

распространения волны, переносится энергия	W за время t,то
плотность потока энергии равна
j =	Ф =	W	.	(6.5.9)
S t
	S
Рассмотрим объем цилиндра с основанием	S и высотойυΔ t

(υ − фазовая скорость волны). В случае малого объема цилиндра, плотность энергии во всех точках цилиндра можно было считать оди-наковой и поэтому энергию можно найти как произведение плотности

 

энергии ω на объем	V = S υΔ t
		W = w V = w SV	t.	(6.5.10)
Подставив выражение (6.5.10) в последнее выражение, получим
		w S υΔ t			r
j =					= w υ или	j =ωυ,	(6.5.11)
	S t
где r j − вектор плотности	потока энергии, называемый вектором
Умова.
Интенсивность волны равна
		I = j	=	w υ=2	ρ A	ω υ.	(6.5.12)

Данное выражение справедливо для волны любого вида.

 

Определим поток энергии через поверхность S. Для этого разо-бьем поверхность на элементарные участки dS. За время dt через пло-щадку dS пройдет энергия dW. Объем цилиндра, где вычисляется энергия, равен dV = υ dtdS cos ϕ. Тогда в этом объеме содержится энергия

 

		dW = wdV = w υ dtdS cosϕ= jdS cosϕ = jdSdt,	(6.5.13)
r	r	r
где dS	= ndS; n − единичный вектор нормали к поверхности dS.
Поток энергии через элементарную поверхность dS
		d Ф=	dW	=	jdSdt	r r	(6.5.14)
		dt	dt	= jdS.

 

Поток энергии через поверхность S равен

 

 

Ф = ∫ d Ф = ∫ jdS.

(6.5.15)

S S