Проверка правильности построения эпюр

Из формул (3.1) и (3.2) следует:

1. На незагруженных участках балки (q = 0) эпюра Q – постоянна, а М – линейна.

2. На участках, загруженных равномерно распределенной нагрузкой (q = = const), – а мы будем рассматривать только такую, – эпюра Q представляет собой прямую линию, а М – параболу, обращенную выпуклостью в сторону действия нагрузки (правило «парусности эпюры»).

3. В точках приложения сосредоточенных сил Р_i эпюра Q имеет скачок на величину приложенной силы, а эпюра М – точку излома в сторону действия силы.

В точках приложения сосредоточенных моментов М_i эпюра М имеет скачок на величину приложенного момента. (На эпюре Q это никак не отражается).

В частности, на концах балки значения Q и М будут равны соответственно – сосредоточенным силам и моментам, приложенным там (активным или реактивным).

4. На участке, где эпюра М нисходящая (возрастает), – Q > 0, если эпюра М – восходящая, – Q < 0.

5. Изгибающий момент может достигать максимального по модулю значения:

- на границах участков;

- в точках, где Q = 0;

- в точках приложения сосредоточенных сил, где эпюра Q имеет скачок со сменой знака.

 

ПРИМЕЧАНИЯ:

1. Для вычисления Q и М в каком-либо сечении балки удобнее рассматривать равновесие той части балки, к которой приложено меньше сил. Например, при построении эпюр, приведенных на рис.3.3, на первом участке () из условия равновесия левой части (рис.3.1б, в) получим:

; ;

- R_A × z + M (z) = 0; M (z) = Pz /2.

Тот же результат можно получить, рассматривая на этом участке равновесие части балки, которая расположена справа от сечения:

; ;

; .

2. На границе участков функции Q (z) и М (z) могут иметь точки разрыва. Например, в рассмотренном примере (рис.3.3), значения Q (z) слева и справа от сечения z = l /2 соответственно равны: и . Вопрос о том, чему равняется эта функция непосредственно в точке z = l /2, не имеет практического значения. Поэтому в качестве характерных точек, где вычисляются необходимые для построения эпюр значения функции, на каждом участке можно брать его границы, добавляя к ним – в случае распределенной нагрузки – точку в середине участка или точку, где Q = 0.

3. При построении эпюр в консольных балках можно не определять опорные реакции, если рассматривать равновесие части балки, не содержащей опору.

4. При рассмотренном правиле построения эпюры М она будет расположена на растянутых волокнах балки.

 

Примеры построения эпюр

Переходя к рассмотрению примеров, отметим, что, помимо изложенного выше метода построения эпюр, существуют и другие методы, однако разница между ними невелика и все они базируются на приведенном в параграфе 3.1 определении Q и М. Поэтому при решении этих задач надо помнить о следующем:

- значения Q и М в любом сечении балки можно вычислить просто в соответствии с этим определением;

- верное решение в общем случае можно получить только при условии правильного определения опорных реакций, для которых рекомендуется указывать их истинное направление;

- заключительным и самым важным этапом решения задачи является контроль правильности построения эпюр, рассмотренный в параграфе 3.3.

Во многих случаях решение задач можно упростить, если воспользоваться рассмотренным в параграфе 1.4 принципом суперпозиции, в соответствии с которым эпюры Q и М от заданной нагрузки можно найти как суммы соответствующих эпюр от каждой нагрузки в отдельности. При реализации этого метода полезно знать решения для простых двухопорных и консольных балок, загруженных сосредоточенными силами, моментами и распределенной нагрузкой - подобных рассмотренным на рис. 3.3.

 

Пример 3.1. Построить эпюры Q и М (рис.3.4а).

Решение. Балка состоит только из одного участка, границы которого совпадают с ее естественными границами.

Опорные реакции можно не определять, если рассматривать равновесие части балки, расположенной справа от сечения, проведенного на расстоянии от ее свободного правого конца (рис.3.4б):

; ; ; (а)

; ; . (б)

 

Строим эпюры Q и М по зависимостям (а) и (б), контролируя правильность решения задачи:

– на загруженном участке балки – парабола, – линейная функция;

– зависимости Журавского принимают вид:

; ;

– нисходящая (слева - направо!) эпюра М соответствует положительным значениям Q;

– на левом конце балки эпюры Q и М имеют скачки на величину соответственно опорной реакции R_A = ql и реактивного момента М_A = ql ²/2, где знаки последних соответствуют правилу ТМ (рис.3.4).

Отметим, что

 

М_А ^ТМ = ql ²/2, М_А ^СМ =– ql ²/2. ·

Как видим, опорные реакции можно найти не только из уравнений равновесия балки, но и с помощью построенных эпюр.

Пример 3.2. Построить эпюры Q и М (рис.3.5а).

Решение. В соответствии с планом, приведенным в параграфе 3.3:

1) Находим опорные реакции из условий равновесия балки (рис.3.5б):

 

å М_А = 0; = 0; R_B = 1,5 кН;

å М_В = 0; –R_A ; R_A = 2,5 кН.

 

Проверка:

 

å Y = R_A – + R_B = 2, 5 – +1, 5 = 0.

2) Делим балку на участки:

– первый участок: ;

– второй участок: (или ).

3) Определяем Q и М, рассматривая равновесие части балки слева от сечения – на первом и справа от сечения – на втором участке (рис.3.5в).

3.1) Первый участок

; R_A – ; (а)

; –R_Az ₁+ ; . (б)

Для построения Q вычисляем ее значения на границе участка:

. (в)

Поскольку функция меняет знак, находим корень уравнения : .

Для построения эпюры , представляющей собой параболу, вычисляем ее значения в трех точках:

; ; . (г)

3.2) Второй участок

; R_B =0; R_B = (д)

; + R_B = 0; ; (е)

; . (ж)

4) Строим эпюры Q и М по вычисленным значениям (в), (г) и (ж).

5) Проверяем правильность построения эпюр:

– зависимости Журавского на первом участке – из (а) и (б):

;

– то же на втором участке – из (д) и (е):

;

– нисходящему участку эпюры М () соответствует ;

– эпюра Q на концах балки имеет скачки на величину R_A и R_B соответственно, у эпюры М - скачок в точке приложения сосредоточенного момента.

Отметим, что максимальное значение изгибающего момента: М _max = = max(1,56; 3) = 3кНм достигается на границе участка. ·

Пример 3.3. Построить эпюры Q и М методом суперпозиции(рис.3.6а).

Решение. Суть этого метода – в том, чтобы вместо одной сложной задачи решить три (в данном примере), но простых.

На трех участках из четырех эпюра М от заданной нагрузки будет линейной, поэтому ограничимся построением только этой эпюры. Будем искать ее в виде суммы: , где слагаемые представляют собой эпюры моментов от загружения заданной балки соответственно – и М,и для их построения можно воспользоваться полученными ранее решениями.

Эпюра M_q на первом участке заданной балки: симметрична эпюре, приведенной на рис. 3.4, причем M_q (2) = – ql ²/2 = – 2кНм. На последнем участке () по определению , а на незагруженном участке между опорами А и В она изменяется по линейному закону.

Аналогично, не определяя опорных реакций, можно построить эпюру M_p на основе эпюры, приведенной на рис.3.3. Эпюра строится аналогично .

 

Теперь для построения М достаточно вычислить ее значение в точке : M (4) = M_q (4) + M_p (4) + M_M (4) = - 1 + 4 + 1 = 4кНм (рис.3.6б).

Переходим к построению эпюры Q.

На первом участке она обратносимметрична эпюре, приведенной на рис.3.4. На незагруженных участках балки эпюру Q легко построить по эпюре М, воспользовавшись зависимостью tga:

– на втором участке :

tga₁= (4+2)/2=3 кН;

– на третьем :

– tga₂= – (4 – 2)/2= – 1 кН;

– на последнем четвертом участке М = const, поэтому Q = 0 (рис.3.6в).

По эпюре Q находим реакции опор (рис.3.6г) и выполняем статическую проверку правильности решения:

R_A –P + R_B = . ·