Внутренние усилия в брусе. Виды НДС

Применим рассмотренный в предыдущем параграфе метод сечений к частному случаю тела - брусу, загруженному уравновешенной системой сил (рис. 1.10а). Проведем сечение и рассмотрим равновесие части стержня слева от сечения под действием сил Р ₁, Р ₂ и реакций отброшенной правой части или

напряжений. Приведем последние к центру, выбрав в качестве него точку C - центр тяжести сечения.

 

Введем систему координат с началом в центре C и обозначим через R_c и M_c главный вектор и главный момент реакций отброшенной правой части (рис. 1.10б).

Определение. Внутренними усилиями в стержне называются проекции векторов R_c и M_c на оси координат системы Cxyz, взятые с определенным знаком.

Условие равновесия отсеченной части:

(Р ₁, Р ₂, R_с, M_c) ~ 0

эквивалентно уравнениям равновесия:

 

å C = 0; å U = 0; å Z = 0; å M_x = 0; å M_y = 0; å M_z = 0,

 

откуда и можно найти внутренние усилия.

Для части стержня слева от сечения:

 

Q_x = - R_cx = å C_i; M_x = å M_x (R_i); ü

Q_y = - R_cy = å U_i ; M_y = å M_y (R_i); ý (1.1)

N_z = R_cz = - å Z_i; M_z = - å M_z (R_i). þ

Компоненты этих усилий называются так:

Q_x, Q_y - поперечные силы;

N_z - продольная или нормальная сила;

M_x, M_y - изгибающие моменты;

M_z - крутящий момент.

Внутренние усилия можно выразить не только через внешние силы и их проекции – по формуле (1.1), но и через компоненты вектора напряжения в поперечном сечении бруса с площадью F:

Qx = t zxdF; Mx = - s z × ydF; Qy = t zydF; My = - s z × xdF; Nz = s z dF; Mz = (t zx y - t zy x) dF.

 

 

(1.2)

 

 

Отметим, что формулы (1.2) справедливы для любой части бруса – как слева, так и справа от сечения. В отличие от этих формул, в (1.1) при переходе к рассмотрению правой части стержня нужно сменить все знаки на противоположные.

В зависимости от значений внутренних усилий различают несколько видов напряженно-деформированных состояний (НДС), некоторые из которых мы рассмотрим.

1. Центральным растяжением и сжатием (ЦРС) называется НДС, при котором N_z ¹ 0, а все остальные внутренние усилия равны нулю. ЦРС возникает в брусе, растягиваемом (сжимаемом) силами, приложенными к его торцам (рис. 1.11а).

2. Чистый изгиб соответствует НДС, при котором обращаются в нуль все компоненты внутренних усилий за исключением M_x (или M_y). Появляется в брусе при его изгибе двумя моментами, приложенными по торцам (рис. 1.11б).

3. Поперечный изгиб – это НДС, при котором Q_y ¹ 0, M_x ¹ 0, а остальные компоненты равны нулю. Возникает, например, в брусе, опертом по концам и загруженном посредине силой (рис. 1.11в).

Решение основной задачи СМ для этих НДС бруса и составляет основное содержание данного раздела курса.

 

ПРИМЕЧАНИЯ:

1. В соответствии с принципом Сен-Венана картина распределения напряжений при ЦРС в поперечном сечении бруса на достаточном удалении от его концов не зависит от способа приложения нагрузки. Это справедливо и для других видов НДС.

2. Внутренние усилия, несмотря на название, не являются силами, противодействующими приложенной нагрузке, – по отношению к рассматриваемой части стержня продольная сила N_z является такой же внешней силой, как и сила Р (рис1.11а).

ГЛАВА 2. ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

2.1. Напряжения и деформации

Напряжения. Пусть стержень с площадью поперечного сечения F растягивается двумя равными по модулю силами Р.

Проведем сечение и рассмотрим часть стержня слева от сечения (рис. 1.11а). Действие отброшенной правой части заменим нормальными напряжениями s _z, эквивалентными продольной силе N_z = Р.

Предполагая, что нормальные напряжения равномерно распределены по площади поперечного сечения F, получим:

 

N_z = s _z dF = s _z × F,

откуда искомое выражение для напряжений при ЦРС примет вид:

 

s _z = N_z / F (2.1)

 

Правило знаков. При растяжении стержня: s _z > 0, N_z > 0; при его сжатии –s _z < 0, N_z < 0.

Деформации. Обозначим через l длину стержня до деформации, и пусть под действием приложенной нагрузки его длина стала равной l +D l, где D l - абсолютное удлинение стержня.

Относительным удлинением или продольной деформацией стержня при ЦРС называется величина

 

e = D l/l. (2.2)

 

Правило знаков. При растяжении: D l > 0, e > 0; при сжатии: D l < 0, e < 0.

В общем случае продольная сила N_z непостоянна по длине стержня. Например, – при его растяжении или сжатии под действием собственного веса. При этом будут неравномерны удлинения отдельных участков стержня и применение формулы (2.2) теряет смысл.

Для вывода формулы, являющейся обобщением (2.2) на случай переменной продольной силы и неравномерных деформаций, введем понятие перемещения точки деформируемого тела.

Пусть точка A (x, y, z) упругого тела в результате силовых или каких-либо иных воздействий перемещается и занимает в пространстве положение А'.

Вектор AA' (u, v, w)называется перемещением точки А деформируемого тела.

В общем случае каждая компонента вектора перемещения является функцией координат – x, y, z.

Рассмотрим брус длиной l в системе координат Oxyz, где начало отсчета выбрано на его левом, жестко защемленном конце, плоскость Oyz является плоскостью симметрии, а ось Оz проходит через центр тяжести сечений.

При этих предпосылках положение точки А, лежащей на оси бруса, однозначно определяется заданием только одной координаты – z (рис. 2.1а).

Под действием сил, приложенных вдоль оси Оz, и вызывающих центральное растяжение стержня, точка А получит перемещение AA'. Очевидно, что величина перемещения определяется удалением точки А от начала координат: w (0) = 0, w (z) = AA ¢, w (l) = D l (рис.2.1б).

Проведем два сечения на расстояниях z и z+ D z от левого конца и рассмотрим поведение заключенного между ними участка стержня в ходе его загружения. Если положить w (z +D z) = w (z) + D w, то станет очевидным, что перемещение этого отрезка стержня как твердого тела на величину w (z) сопровождается его удлинением на величину D w (рис. 2.1в). Предполагая, что продольная сила остается постоянной на участке D z, воспользуемся формулой (2.2) для определения его относительного удлинения. Подставляя в (2.2) D l = D w, а l = D z и переходя к пределу, получим выражение продольной деформации в сечении z:

 

e _z = . (2.3)

 

Таким образом, зная w (z) можно найти деформацию e _z (z), и наоборот – по известной деформации e _z из (2.3) можно найти перемещение w:

e _zdz,

или

w (z) = w ₀ + e _zdz. (2.4)