Ортогональная система трех плоскостей проекций

В практике для изображения геометрических объектов, решения некоторых задач возникает необходимость использовать третью плоскость проекций p₃, перпендикулярную p₁ и p₂. p₃ – профильная плоскость проекций. А ₃ – профильная проекция точки А.

Система трех плоскостей проекций делит пространство на 8 октантов, которые условно обозначают согласно рис. 2.3.

Рис. 2.3. Система 3^х плоскостей проекций.

В первом октанте все координаты положительные.

Чтобы перейти к чертежу на плоскости, совместим все три плоскости в одну плоскость p₂ по направлениям, указанным на чертеже. Плоскость p₁ вращаем вокруг оси x ₁₂ на 90°, плоскость p₃ – вокруг оси z ₂₃ на 90° против часовой стрелки. При этом ось y раздваивается.

Получается комплексный чертеж точки (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Комплексный чертеж.

На комплексном чертеже все проекции точки А ₁, А ₂, А ₃ находятся в проекционной связи. Каждая проекция точки определяется двумя координатами:

А ₁ – x, y ₁

А ₂ – x, z

A ₃ – y ₃, z

В данном примере x = 30, y = 25, z = 35. Третья профильная проекция точки может быть определена по линиям связи от проекций А ₁ и А ₂. Проекции А ₂ и А ₃ расположены на одной горизонтальной линии связи, которая определяется координатой z (отрезок OA _z), а от горизонтальной проекции А ₁ проводим линию связи перпендикулярно оси y ₁, отрезок OA _y (координата y) переносим против часовой стрелки на горизонтальную ось y ₃ и восставляем перпендикуляр (линию связи) до пересечения с горизонтальной линией связи от А ₂. Координата у от А ₁ переносится на горизонтальную ось у ₃ всегда против часовой стрелки, т.к. плоскость p₃ при совмещении с p₂ разворачивается против часовой стрелки.

Профильную проекцию А ₃ можно определить, откладывая координаты на соответствующих осях проекций с учетом знака.

Знаки координат зависят от того, в каком октанте расположена точка.

Координаты	Октанты
	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
x	+	+	+	+	-	-	-	-
y	+	-	-	+	+	-	-	+
z	+	+	-	-	+	+	-	-

 

 

2.3 Точки разных углов пространства.
Точки частного положения

Если точка не принадлежит ни одной плоскости проекций, она занимает общее положение.

Если точка расположена в плоскости проекций или на оси проекций, она занимает частное положение.

Рассмотрим ряд точек общего положения (рис. 2.5, 2.6).

Точка В (x = 30, y = 25, z = -35) – IV октант. Проекция В ₁ расположена ниже оси x на положительном направлении оси у. Траектория В ₂ расположена тоже ниже оси х на отрицательном направлении оси z. В ₃ определяется по линиям связи от В ₁ и В ₂ или по координатам y = 25, z = -35.

Точка С (x = -30, y = 40, z = 30) – V октант. Проекция С ₁ расположена справа от оси z на отрицательном направлении оси x и ниже оси х на положительном направлении оси у. Проекция В ₂ расположена выше оси х на положительном направлении оси

Рис. 2.5. Точки в 4 и 5 октанте.

Рис. 2.6. Комплексный чертеж точек в 4 и 5 октантах.

z. С ₃ определяется по линиям связи от С ₁ и С ₂ или по координатам y = 40, z = 30.

Рассмотрим точки частного положения, расположенные на плоскостях и осях проекций.

Если координата х = 0, то точка принадлежит плоскости p₃.

Если координата у = 0, то точка принадлежит плоскости p₂.

Если координата z = 0, то точка принадлежит плоскости p₁.

Рассмотрим ряд точек частного положения (рис. 2.7, 2.8).

Рис. 2.7. Точки частного положения.

Точка D (x = 0, y = 30, z = 20) принадлежит плоскости p₃ и совпадает с профильной проекцией D ₃, проекции D ₁ и D ₂ расположены соответственно на осях у и z.

Точка Е (x = 30, y = 0, z = 35) принадлежит плоскости p₂ и совпадает с фронтальной проекцией Е ₂, проекции Е ₁ и Е ₃ расположены соответственно на осях x и z.

Точка К (x = 40, y = 25, z = 0) принадлежит плоскости p₁ и совпадает с горизонтальной проекцией К ₁, проекции К ₂ и К ₃ расположены соответственно на осях x и у.

Точка L (x = 0, y = 5, z = 40) расположена на оси z.

Рис. 2.8. Комплексный чертеж точек частного положения.

 

 

Вопросы и задачи для самоконтроля

 

Сколько проекций точки вполне определяют ее положение в пространстве?

Какая координата точки определяет ее расстояние:

a) до горизонтальной плоскости проекций p₁;

b) до фронтальной плоскости проекций p₂;

c) до профильной плоскости проекций p₃?

Выполнить комплексный чертеж точек и указать, в каком октанте они расположены:

a) A (x = 50, y = -10, z = -30);

b) B (x = -40, y = -20, z = 35);

c) C (x = -20, y = -30, z = -45);

d) D (x = -30, y = 0, z = -50);

e) E (x = 0, y = -40, z = 25).

ГЛАВА 3. ПРЯМЫЕ ЛИНИИ

Проекции прямой линии

Прямая линия в пространстве может быть задана двумя точками. Поэтому эпюр прямой определяется эпюром принадлежащих ей точек.

Рассмотрим проекции прямой, заданной отрезком AB (рис. 3.1, 3.2).

Рис. 3.1. Прямая общего положения.

А ₁ В ₁ – горизонтальная проекция прямой;.

А ₂ В ₂ – фронтальная проекция прямой;.

А ₃ В ₃ – профильная проекция прямой.

Две проекции прямой вполне определяют ее положение в пространстве. По рис. 3.1 каждая из проекций прямой определяет плоскость, перпендикулярную плоскости проекции (например, А ₁ В ₁ АВ, А ₂ В ₂ АВ), которые пересекаются по линии являющейся прямой АВ.

Рис. 3.2. Комплексный чертеж прямой общего положения.

Прямая, определяемая отрезком АВ, непараллельная ни одной из плоскостей проекций и является прямой общего положения. Проекции такой прямой расположены к осям проекций произвольно.