1. l( + ) = l + l; 3. (l + m) = l + m;
2. l(m ) = (lm); 4. 1 · =.
Доказательство. 1. Пусть
=, = ,
l=, l = .
Тогда по правилу треугольника
+ =, l + l =.
Нам требуется доказать, что l( + ) = .
Из (**) вытекает по-добие треугольников Δ OAB ~ ~ Δ OA 1 B 1 по двум сторонам и углу между ними. Поэтому | | и ||= l||.
Отсюда, с учетом + =, вытекает l( + ) = . На первом рисунке изображен случай l > 0, а на втором – l < 0. В случае же l = 0, обе части равенства дают.
Упражнение. Остальные свойства докажите самостоятельно.
Теорема 1 (первый признак коллинеарности векторов). Для того, чтобы ненулевые векторы и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число l , что = l.
Доказательство. Достаточность вытекает непосредственно из определения произведения вектора на число. Если = l, то по определению ||.
Необходимость. Пусть ||.
1 случай: . Положим l =½½ /½½ > 0. Тогда
l Þ l ,
½l½ =½l½½½ = l| |= | |=½½.
2 случай: ¯ . Положим l = –½½ /½½ < 0. Тогда
l ¯ Þ l ,
½l½ =½l½½½= –l| |= | |=½½.
Что и требовалось доказать.
В процессе доказательства мы показали, как решить следующую задачу: найти вектор сонаправленный с данным вектором и имеющий заданную длину ½½= b. Это будет вектор = . В частности, единичный вектор находится так: = . Такой вектор называется ортом вектора.
Угол между векторами. Ориентация пары векторов на плоскости или тройки векторов в пространстве.
Определение. Пусть и – два ненулевых вектора. Отложим их из одной точки О: = , = . Тогда углом между векторами и называется угол между лучами OA и OB, т.е. a =Ð AOB. Пишем a =Ð( , ).
Если речь идет о векторах на плоскости, то можем ввести понятие ориентированного угла между векторами. Если кратчайший поворот
от луча OA к лучу OB осуществляется против часовой стрелки, то считаем, что a > 0, а если по часовой – то a < 0 . Таким образом, – p < a £ p. Если a > 0, то пара векторов (, ) называется правой, а если a < 0 – то левой.
В пространстве понятие ориентированного угла не имеет смысла. Если посмотреть на плоскость, в которой лежат лучи OA и OB с одной стороны, то увидим, что кратчайший поворот от OA к OB осуществляется в одном направлении, а если посмотреть на плоскость с другой стороны, то мы увидим тот же поворот в другом направлении.
Пусть в пространстве даны три некомпланарных вектора, , . Отложим их из одной точки О: = , = , = . Тройка векторов (,, ) называется правой, если кратчайший поворот от луча OA к лучу OB, если смотреть из точки C, выглядит как осуществляющийся против часовой стрелки. Соответственно, если этот поворот выглядит как осуществляющийся по часовой стрелке, то тройка векторов (,, ) называется левой. На рисунке изображена правая тройка векторов.
Проекция вектора на ось.
Пусть l – некоторая прямая в пространстве. Выберем точку O Î l и единичный вектор || l. Построим направленный отрезок = . Прямая l с отрезком называется осью. Иногда говорят, что ось – это прямая, на которой задано направление.
Определение. Пусть – произвольный вектор, а – произвольный направленный отрезок, который представляет. Опустим перпендикуляры AA 1 и BB 1 на прямую l. Пусть = . Тогда вектор
называется векторной проекцией вектора на ось l и обозначается p l.
Мы имеем ||. Поэтому согласно теореме 1 существует такое число p, что = p. Это число называется скалярной проекцией вектора на ось l. Поскольку –
единичный вектор, то p – это длина вектора, если , и p = – ||, если ¯. Будем обозначать скалярную проекцию так: P l.
Зная скалярную проекцию вектора мы можем найти его векторную проекцию:
p l = (P l ); (*)
Если ^, то, очевидно, A 1= B 1 и P l = 0.
Необходимо еще доказать, что определения скалярной и векторной проекции корректны, т.е. не зависят от выбора направленного отрезка, который представляет вектор. Другими словами, если мы отложим вектор от другой точки, то его скалярная и векторная проекции не изменятся,– и это надо доказать.
Проведем через точки A и B плоскости a и b перпендикулярно l. Тогда ½ p ½=½P l ½ есть расстояние между a и b.Выберем другой направленный отрезок, представляющий и проведем через точки A ¢, B ¢ плоскости a¢ и b¢ перпендикулярно l. Направленные отрезки и эквивалентны, а значит, они совмещаются параллельным переносом. При этом переносе плоскость a совместится с a¢, а плоскость b – с b¢. Значит, расстояние между a¢ и b¢ равно расстоянию между a и b, и оно равно ½ p ½. Поэтому ½ p ½ не зависит от выбора направленного отрезка. Направление векторной проекции также не изменится при переносе, поэтому и знак p не изменится. Итак, скалярная проекция не зависит от выбора направленного отрезка, представляющего. В силу равенства (*) p l также не зависит от выбора направленного отрезка.
Теорема 2. Свойства проекции вектора на ось.
1. P l =| |cosÐ(, );
2. P l (l ) = lP l , p l (l ) = l(p l );
3. P l ( + ) = P l + P l, p l ( + ) = p l + p l.
Доказательство. 1. Поскольку определение проекции не зависит от выбора точки A,из которой отложен вектор, мы можем отложить его из точки О. Обозначим j =Ð(, ).
1 случай: j £ p/2. Тогда из D OBB 1 получим, что
p =½ OB 1½=½ OB ½ · cos j = | |cos j.
2 случай: j > p/2. Тогда из D OBB 1 получим, что
p = –½ OB 1½= –½ OB ½ · cos (p– j) = | |cos j.
2. Для скалярных проекций:
1 случай: l > 0. Тогда l и Ð(, l ) = j. Значит,
P l (l ) =½l½cos Ð(,l ) =
= l| |cos j = lP l.
2 случай: l < 0. Тогда l ¯ ,
Ð(, l ) = p – j и cosÐ(,l ) = – cos j,
P l (l ) =½l½cosÐ(,l ) = –l| |(– cos j) =
= l| |cosÐ(, ) = lP l.
3 случай: l = 0. Тогда равенство очевидно.
Для векторных проекций с помощью равенства (*) получаем:
p l (l ) = (P l (l )) · = l(P l ) · = l(p l ).
3. Доказательство для векторных проекций показано на чертеже, но только для случая векторов на плоскости. Рисунок для векторов в пространстве можно найти в учебнике [10].
Для скалярных проекций равенство вытекает из равенства для векторных проекций. Например, в случае, изображенном на втором рисунке,
P l ( + ) = | A 1 C 1|,
P l = | A 1 B 1|,
P l = – | B 1 C 1|,
и мы видим, что
| A 1 C 1|= | A 1 B 1|+(– | B 1 C 1|).
