Пусть на плоскости заданы два неколлинеарных вектора, и произвольная точка O. Пару B = {, } назовем базисом, а тройку R = { O,, } – аффинным репером. Пусть – произвольный вектор. Отложим все векторы из точки O:
= , = , = .
Проведем прямые l 1= OA , l 2 = OB. Построим параллелограмм, две стороны которого лежат на прямых l 1, l 2, так чтобы C являлась его вершиной. Пусть A 1 и B 1 – вершины параллелограмма, лежащие на l 1 и l 2 соответственно. Пусть = , = . Тогда по правилу параллелограмма = + . Поскольку ||, а ||, то существуют такие числа x 1, x 2, что = x 1 , = x 2 Þ
= x 1 + x 2. (4)
Это выражение называется разложением векторапо базису B = {, }. Числа x 1, x 2 называются координатами вектора в данном базисе. Они же называются координатами точки C относительно репера R = { O, , }. Пишем (x 1, x 2) B, C (x 1, x 2) R. Если заранее известно, о каком базисе или репере идет речь, то их обозначение к координатам не добавляют. Репером на плоскости также называют тройку точек { O, A, B }.
Точка O называется началом координат. Прямые l 1, l 2 вместе с выбранными на них направленными отрезками , называются координатными осями. А совокупность координатных осей и начала координат называется аффинной системой координат (СК) на плоскости. Иногда репером называют также тройку точек { O, A, B }, не лежащих на одной прямой.
Вектор называется радиус-вектором точки C в данной СК или в данном репере. Если мы выберем другое начало координат O 1, то та же самая точка C будет задаваться другим радиус-вектором = . Поэтому ее координаты изменятся. Координаты же вектора не зависят от выбора начала координат.
Действительно, пусть мы имеем еще одно разложение:
= y 1 + y 2, (4¢)
где, например, x 2 ≠ y 2 . Вычтем (4¢) из (4):
= (x 1 – y 1) + (x 2 – y 2) Þ = .
Мы получили, что ||, но мы с самого начала предполагали, что векторы и неколлинеарны. Противоречие. Значит, x 2 = y 2. Аналогично доказывается, что x 1 = y 1.
Определение. Базис B и репер R называются ортонормированными, если базисные векторы являются единичными и взаимно перпендикулярными (| |= | |=1 и · = 0). В этом случае СК тоже называется ортонормированной. Если, к тому же, пара (, ) является правой, то СК называется декартовой.
Тогда приняты следующие обозначения: координаты (x, y), координатные оси – Ox, Oy, базисные векторы – i , j, направленные отрезки на осях – OE 1, OE 2. Векторы i, j называются базисными ортами.
Пусть произвольный вектор в декартовой СК имеет координаты (x, y), т.е. = x i + y j. Домножим это равенство скалярно на вектор i:
· i = x (i · i) + y (j · j) = x ·1 + y · 0 = x.
А, с другой стороны,
· i = ½½½ i ½ cosÐ(, i) =½½ cosÐ(i, ) = P Ox.
Значит, x = P Ox . Аналогично получаем y = P Oy. Таким образом, в декартовой СК координаты вектора совпадают с его скалярными проекциями на координатные оси.
Пусть a =Ð( i, ), b =Ð(j, ). Тогда величины cos a и cos b называются направляющими косинусами вектора .
Пусть в произвольной аффинной СК, которая задаётся репером R = { O, , } известны координаты двух векторов: (x 1, x 2), (y 1, y 2). Тогда
+ = (x 1 + x 2 ) + (y 1 + y 2 ) = (x 1+ y 1) + (x 2+ y 2).
l = l(x 1 + x 2 ) = (l x 1) + (l x 2).
Значит, вектор + имеет координаты (x 1+ y 1, x 2 + y 2), а вектор l имеет координаты (l x 1,l x 2). Таким образом, при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. Также легко убедиться, что при вычитании векторов их координаты вычитаются.
Допустим, нам известны координаты двух точек P (x 1, x 2), Q (y 1, y 2), а = . Выясним, как найти координаты этого вектора.
Пусть = , = . Согласно определению, координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора. Значит, (x 1, x 2), (y 1, y 2). По правилу тре-угольника + = , т.е. = – .
Значит, (y 1– x 1, y 2 – x 2).
Таким образом, для того, чтобы найти координаты вектора надо от координат его конца вычесть координаты начала.
