Умножение комплексных чисел

Определение. Произведением двух комплексных чисел называется такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей.

Это определение совершенно очевидно, если использовать показательную форму комплексного числа:

Пусть комплексные числа даны в алгебраической форме. Найдём их произведение: (a ₁ + b ₁ i) (a ₂ + b ₂ i) = x + iy.

Имеем .

Согласно определению умножения можем записать:

.

Распишем: ,

,

.

Окончательно получим:

.

Отсюда следует правило умножения комплексных чисел в алгебраической форме: комплексные числа можно перемножать как многочлены.

Если z = а + b i – комплексное число, то число называется сопряжённым с числом z. Его обозначают при помощи черты над числом.

, но , следовательно, .

Деление комплексных чисел

.

Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Если делимое и делитель даны в алгебраической форме, то правило деления таково: для того, чтобы разделить комплексное число (a ₁ + b ₁ i) на другое комплексное число (a ₂ + b ₂ i), то есть найти , нужно и числитель, и знаменатель умножить на число, сопряжённое знаменателю.

.

В результате операции получили элемент того же множества. Значит, операция деления считается введённой.

Возведение в степень комплексных чисел

Операцию возведения в степень удобнее выполнять, когда комплексное число записано в тригонометрической или в показательной форме.

1. ,

2. .

Для возведения комплексного числа в степень нужно модуль возвысить в эту степень, а аргумент умножить на показатель степени.

Извлечение корня

Определение. Корнем n -ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n -я степень которого равна подкоренному числу.

Из этого определения следует, что из равенства следует равенство .

Из равенства комплексных чисел следует , а аргументы отличаются на число, кратное ; . Отсюда , . Здесь есть арифметическое значение корня, а k – любое целое число. Таким образом, получается формула
.

В этой формуле число k может принимать всевозможные целые значения, но различных значений корня будет только n и они соответствуют значениям k = 0, 1, 2, …, n - 1.

Докажем этот факт. Действительно, правые части в этой формуле различны тогда, когда аргументы и отличаются на величину, не кратную , и будут одинаковыми, если указанные аргументы отличаются на величину, кратную . Поэтому разность

не может быть кратна . Из этого результата и следует, что любым подряд взятым n целым числам k соответствуют n различных значений корня.

Пусть теперь k ₃– целое число, не входящее в эту последовательность подряд взятых значений k. Это число можно представить в виде k ₃= gn + k_i, где g – целое число, а k_i – одно из чисел этого ряда, поэтому , то есть значению k ₃ соответствует то же значение корня, что и значению k_i.

Вывод: корень n -ой степени из комплексного числа имеет n различных значений. Исключением из этого правила является лишь частный случай, когда извлекается корень из нуля. В этом случае все значения корня равны нулю.

Пример 1. Решить уравнения а) x ² + 25 = 0, б) x ³ + 27 =0.

Решение. а) , то есть первое уравнение имеет два мнимых корня: x ₁ = 5 i, x ₂ = -5 i;

б) воспользуемся формулой x ³ + a ³ = (x + a) (x ² - ax + a ²), x ³ + 27 = (x +3) (x ² - 3 x + 9). Приравнивая нулю каждый из множителей, получаем один корень действительный и два комплексных:

;

x ₂ и x ₃ – сопряжённые комплексные числа.

Пример 2. Вычислить, изобразить на плоскости, записать в тригонометрической и показательной форме:
а) ; б) (i) ⁱ.

Решение. а) Сначала запишем числа в алгебраической форме, выполнив

операцию деления. Домножим на сопряжённое число, и, учитывая, что i ² = -1, получим:

= - 3 - 3i;

х = Re z = - 3, у = Jm z = - 3, что соответствует точке на плоскости (- 3, - 3) (см рис.3).

Модуль комплексного числа:

.

Так как точка находится в третьей четверти, то аргумент комплексного числа будет:

,

Записываем тригонометрическую и показательную формы комплексного числа:

.

б) z = i ⁱ, i = 0 + 1 · i, х = Re z = 0, у = Jm z = 1,

.

– действительное число (точка на оси ох) (см. рис. 4).

Пример 3. Вычислить .

Решение. Представим число в тригонометрической (или показательной) форме, для чего найдём его модуль и аргумент:

- 1 = - 1 + 0 · i, х = - 1, у = 0,

, k = 0, 1, 2.

k = 0, ;

k = 1,

k = 2, .

 

 

Упражнения для самостоятельной работы

Произведите сложение и вычитание комплексных чисел:

14. (3 + 5i) + (7 – 2i).
15. (6 + 2i) + (5 + 3i).
16. (– 2 + 3i) + (7 – 2i).
17. (5 – 4i) + (6 + 2i).
18. (3 – 2i) + (5 + i).
19. (4 + 2i) + (– 3 + 2i).
20. (– 5 + 2i) + (5 + 2i).
21. (– 3 – 5i) + (7 – 2i).

Произведите умножение комплексных чисел:

22. (2 + 3 i)(5 – 7i).
23. (6 + 4i)(5 + 2i).
24. (3 – 2i)(7 – i).
25. (– 2 + 3i)(3 + 5i).
26. (1 –i)(1 + i).
27. (3 + 2i)(1 + i).
28. (6 + 4i) Ч 3i.
29. (2 – 3i)(– 5i).

Произведите деление комплексных чисел:

 

Решите уравнения:

1) x ² – 4 x + 13 = 0.
2) x ² + 3 x + 4 = 0.
3) 2,5 x ² + x + 1 = 0.
4 4 x ² – 20 x + 26 = 0.

 

Список литературы

1. Пехлецкий И. Д. Математика, СПО. - М.: Академия, 2008.

2. Григорьев С.Г., Задулина С.В. Математика, СПО. - М.: Академия, 2009.

3. Спирина М.С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика, СПО. - М.: Академия, 2007.

4. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. - М.: Наука, 1980.

5. Подольский В. А., Суходский А.М. Сборник задач по высшей математике. - М.: Высшая школа, 1974.

6. Башмаков М.И. Математика, 10 кл. - М.: Академия, 2009.

7. Башмаков М.И. Математика, 11 кл. - М.: Академия, 2009.

8. Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1997

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №2

«Корни, степени и логарифмы»

Цели урока:

1) Обобщить теоретические знания по теме: «Корни, степени и логарифмы».

2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Корни, степени и логарифмы», решить задачи.

3) Формировать потребность к самопознанию; умение ставить цели и реализовывать их.

Теоретический материал

При выполнении заданий по данной теме вы должны помнить:
1. Определения степени: где m – целое число, а n – натуральное.

2. Свойства степени:
1) a⁰=1;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) .
3. Определение корня: .
4. Арифметический корень: .
5. Свойства корней:

1) ;
2) ;
3) ;
4) , где m, n – натуральные числа.

5) .

6. Формулы сокращённого умножения:

1) (a + b)² = a² + 2ab + b²;
2) (a – b)² = a² – 2ab + b²;
3) a² – b² = (a + b) ∙ (a – b);
4) a³ + b³ = (a + b) ∙ (a² – ab + b²);
5) a³ – b³ = (a – b) ∙ (a² + ab + b²);
6) (a + b)³ = a³ + 3a2b + 3ab² + b³;
7) (a – b)³ = a³ – 3a2b + 3ab² – b³.

7. Определение логарифма: log_ab=x a^x=b, a>0, a 1, b>0.
8. Основное логарифмическое тождество: a^log_a^b=b.
9. Десятичный логарифм (по основанию 10): lgb:10^lgb=b.
10. Натуральный логарифм (по основанию e): lnb:e^lnb=b.
11. Свойства логарифмов:

1) log_a1=0;
2) log_aa=1;
3) log_a(x∙y)=log_ax+log_ay;
4) log_a =;log_ax-log_ay;
5) log_ax^p= p∙log_ax;
6) – переход к новому основанию;
7) .

Базовый уровень

Пример. Вычислить .
Решение:
.
Ответ: 2,5.

Пример. Вычислить .
Решение:

Ответ: 15.

 

Пример. Вычислить: .
Решение:
.
Ответ: 40.

Пример. Сравнить числа и .
Решение:
Преобразуем данные числа так, чтобы степени корня в них были равны.
.
Делаем вывод, что данные числа равны.
Ответ: .

Пример. Выразите величину р из равенства .
Решение:
.
Ответ: .

Пример. Определите знак разности .
Решение:
Так как

Ответ: Разность отрицательна.

Пример. Вычислить .
Решение:
.
Ответ: 1.

Повышенный уровень

Пример. Вычислить .
Решение:
.
Ответ: 2.

Пример. Вычислить .
Решение:

Ответ: 6.

Пример. Вычислить .
Решение:

Ответ: – 33.

Пример. Вычислить .
Решение:
.
Ответ: – 10.

Пример. Выделить полный квадрат 3у² + 6у – 8.
Решение:
3у² + 6у – 8 = 3(у² + 2у) – 8 = 3(у² + 2у + 1) – 3 – 8 = 3(у + 1)² – 11.
Ответ: 3(у + 1)² – 11.

Пример. Упростить .
Решение:
.
Ответ: .

 

Пример. Упростите выражение и найдите его значение при .
Решение:
.
При а² =3.
Ответ: а²; 3.

Пример. Сократить дробь .
Решение:

Полезно помнить, что если х₁ и х₂ – корни квадратного трёхчлена ax² + bx + c, где а ≠ 0, то его можно разложить на множители: ax² + bx + c = а(х – х₁) ∙ (х – х₂).
Ответ: .

 

Пример. Упростить если m<0.
Решение:
.
Ответ: 1.

Пример. Вычислить , если log_ba=2.
Решение:

Ответ: – 5.

Упражнения для самостоятельной работы:

Базовый уровень

1) Вычислите .
2) Вычислите .
3) Вычислить без калькулятора .
4) Найдите значение выражения (10^–10 ∙ 100⁶)^–1.
5) Упростите выражение .
6) Найдите значение выражения .
7) Найдите значение выражения .
8) Вычислите .
9) Упростите выражение .
10) Вычислить .
11) Выполните действия .
12) Упростите выражение .

 

Средний уровень

13) Вычислите .

14) Вычислите .

 

Повышенный уровень

15) Вычислите .

16) Вычислите .

17) Вычислите .

18) Вычислите .

19) Упростить если х > 7.

20) Упростить .

54) Упростить .

 

Список литературы

9. Пехлецкий И. Д. Математика, СПО. - М.: Академия, 2008.

10. Григорьев С.Г., Задулина С.В. Математика, СПО. - М.: Академия, 2009.

11. Спирина М.С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика, СПО. - М.: Академия, 2007.

12. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. - М.: Наука, 1980.

13. Подольский В. А., Суходский А.М. Сборник задач по высшей математике. - М.: Высшая школа, 1974.

14. Башмаков М.И. Математика, 10 кл. - М.: Академия, 2009.

15. Башмаков М.И. Математика, 11 кл. - М.: Академия, 2009.

16. Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1997.

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3

«Основы тригонометрии»

Цели урока:

1) Обобщить теоретические знания по теме: «Основы тригонометрии».

2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Основы тригонометрии», решить задачи.

3) Формировать умение планировать свою деятельность; умение ставить цели и реализовывать их.

Теоретический материал

Основные тригонометрические формулы

Основные формулы тригонометрии

Перевод градусной меры угла в радианную и обратно. Пусть a° - градусная мера угла, b - радианная, тогда справедливы формулы:

Формулы зависимости между функциями одного и того же аргумента.

1.		4.
2.		5.
3.		6.

Формулы сложения.

Формулы двойных и половинных углов.

1.		5.
2.		6.
3.		7.
4.		8.

Формулы преобразования суммы в произведение.

Формулы преобразования произведения в сумму.

Формулы приведения.

j
j	- a	a	a	a	- a	- a	- a	- a	a
j	a	a	- a	- a	- a	- a	a	a	a
j	- a	a	- a	- a	a	a	- a	- a	a
j	- a	a	- a	- a	a	a	- a	- a	a

 

Решение простейших тригонометрических уравнений

Уравнение	Общее решение	Частные случаи
,
,
,
,

 

Для решения простейших тригонометрических неравенств , , , (вместо знака могут стоять , , ) применяют графический способ. Находят точки пересечения графика соответствующей функции с прямой , расположенные ближе к началу координат, и затем используют периодичность функции.

Для решения более сложных тригонометрических неравенств их сводят к простейшим случаям с помощью упрощений. Графики и основные свойства тригонометрических функций.

	для
для
для
для
, , , период , нечетная
	для
для
для
для
, , , период , четная
	для
для
для
, \ , , период , нечетная
	для
для
для
, \ , , период , нечетная

Графики и основные свойства обратных тригонометрических функций.

	для
для
для
Функция нечетная
, , , непериодическая функция
	для
для
для
Функция ни четная, ни нечетная
, , , непериодическая функция
	для
для
для
Функция нечетная
, , , непериодическая функция
	для
для
для
Функция ни четная, ни нечетная
, , , непериодическая функция

 

Примеры решения задач.

1. Найти значение следующих тригонометрических выражений:

, , если .

Решение. Выпишем формулы для нахождения , :

, , .

.

Из основного тригонометрического тождества найдем :

Далее найдем значения искомых выражений:

Ответ: , ,

2. Доказать тождество:

Решение. Приведем левую часть к 1:

 

.

Тождество доказано.

3. Вычислить значение выражения:

Решение. Используя формулы приведения, получим:

Итак, значение выражения 0.

Пояснения к разделу: Решение тригонометрических уравнений и неравенств.

Для решения произвольных тригонометрических уравнений и неравенств применяют те же основные приемы, которые были описаны ранее для решения алгебраических уравнений: введение новой переменной и разложение на множители левой части уравнения или неравенства.

1. Уравнения, однородные относительно и .

Каждое из уравнений:

,

и т.д.

называется однородным относительно и . Сумма показателей степеней у и во всех членах такого уравнения одинакова. Эта сумма называется степенью однородного уравнения. Делением на , степень однородного уравнения, оно приводится к уравнению, алгебраическому относительно .

Разделив, например, уравнение на , получим уравнение:

.

При эти уравнения эквивалентны, так как если , то из первого уравнения получим, что и , что невозможно ( и при одном и том же аргументе в нуль не обращаются). Далее из эквивалентного уравнения находим , решая квадратное уравнение относительно , а по значениям - соответствующие значения .

4. Решить уравнение:

Решение. Заменяя и , получим однородное уравнение: ,

Или .

Деля на ( ), получим:

.

Вводим новую переменную и получаем квадратное уравнение относительно нее:

.

Корни этого уравнения: . Далее получаем равносильную совокупность уравнений:

2. Уравнения, левая часть которых раскладывается на множители, а правая часть равна нулю.

Перенеся все члены любого уравнения в левую часть, его можно привести к виду .

Если левая часть этого уравнения раскладывается на сомножители, то каждый из них приравнивается к нулю, и уравнение распадается на несколько простых уравнений. Очень важно при этом иметь в виду, что корнями первоначального уравнения будут только те из корней полученных уравнений, которые входят в область определения первоначального уравнения.

5. Решить уравнение:

.

Решение. Здесь целесообразно использовать формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Воспользовавшись этими формулами, получим уравнение:

или .

Разность косинусов преобразуем в произведение , которое равносильно совокупности уравнений:

3. Уравнения вида .

Эти уравнения можно решать при помощи универсальной тригонометрической подстановки , воспользовавшись формулами, выражающими и через :

и