Выпуклость функции. Точки перегиба

Ранее мы подробно изучали точки экстремума, нахождение которых во многом определяет структуру графика функции. Определим теперь другие «узловые» точки функции, которые также следует найти, чтобы качественно построить ее график.

Определение

Функция y=f(x) называется выпуклой вниз (вверх) на (a,b), если ее график расположен не ниже (не выше) любой ее касательной на этом интервале (рис. 5.10.1).

Теорема

Функция выпукла вниз (вверх) на промежутке X тогда и только тогда когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).

Теорема

Если функция y=f(x) имеет на интервале (a,b) вторую производную и то график функции имеет на (a,b) выпуклость, направленную вниз (вверх) (Рис. 5.10.2).

Определение

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вверх и вниз.

Рис. 5.10.1

Рис.5.10.2.

Теорема (Необходимое условие точки перегиба)

Вторая производная f”(x) дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю, т.е. f”(x) =0.

Отметим, что условие f”() =0 не всегда означает наличие точки перегиба, например, график функции не имеет перегиба в точке (0,0), хотя вторая производная равна нулю. Поэтому равенство нулю второй производной является необходимым. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует будем называть критическими. В каждой такой точке необходимо исследовать дополнительно вопрос о существовании точки перегиба.

Теорема (Достаточное условие точки перегиба)

Если вторая производная f”(x) дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то есть точка перегиба ее графика.

Следует отметить, что если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то она является точкой перегиба.

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба

1. Найти вторую производную функции f”(x).

2. Найти точки, в которых вторая производная f”(x) =0 или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

4. Найти значения функции в точках перегиба.

 

Асимптоты графика функции

Часто оказывается, что график функции неограниченно приближается к некоторой прямой. Подобные прямые называют асимптотами.

Определение

Асимптотой графика функции y=f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (x, f(x)), до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Определение

Прямая x=a называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений или равно или .

Вертикальные асимптоты обычно сопутствуют точкам разрыва второго рода.

Определение

Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при , если f(x) можно представить в виде

,

(5.10.1)

где при .

Это определение относится как к наклонной, так и к горизонтальной асимптотам: в случае горизонтальной асимптоты угловой коэффициент k равен нулю, т.е. ее уравнение будет иметь вид y=b

Укажем способ нахождения коэффициентов k и b в уравнении наклонной асимптоты. Разделив обе части равенства (5.10.1) на x и переходя к пределу при , получим , т.е. .

Затем из равенства (5.10.1) получим

(5.10.2)

Заметим, что при нахождении коэффициентов, целесообразно находить пределы отдельно при и при .