Непрерывность функции. Основные теоремы о непрерывных функциях

Понятие непрерывности функции является одним из основополагающих понятий в математическом анализе.

Пусть функция определенав некоторой окрестности точки .

Определение

Функция называется непрерывной в точке , если предел этой функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

.

(4.7.1)

Так как , то это равенство можно переписать в следующей форме: .

Определение непрерывности функции можно сформулировать как «на языке последовательностей», так и «на языке e–d» в соответствии с двумя определениями предела функции в точке. Приведем здесь второе из них.

Определение

Функция называется непрерывной в точке , если для любого существует такое , что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Определение

Функция называется непрерывной справа (слева) в точке , если правый (левый) предел этой функции в точке равен значению функции в этой точке.

Символическая запись непрерывности функции справа и соответственно слева:

или ,	(4.7.2а)
или .	(4.7.2б)

Если функция непрерывна в точке слева и справа, то она непрерывна в этой точке. В самом деле, функция имеет предел в точке , который равен ее значению в этой точке, что и означает непрерывность функции при .

Для практического использования полезно сформулировать еще одно определение непрерывности функции.

Определение

Назовем разность приращением аргумента в точке а, разность – приращением функции в точке , обусловленным приращением аргумента . Таким образом, , . Так как , то равенство (4.7.1) можно переписать в другой форме:

(4.7.3)

Теорема

Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции , и также непрерывны в точке (частное при условии, что ).

Теорема

Если функция f (x) непрерывна в точке x₀ и f (x ₀) > 0, то существует такая окрестность точки x₀, в которой f (x) > 0.

Теорема

Если функция y = f (u) непрерывна в точке u ₀, а функция u = j (x) непрерывна в точке u ₀= j (x ₀), то сложная функция y = f [ j (x)] непрерывна в точке x ₀, или

.

(4.7.4)

 

Точки разрыва функций и их классификация

 

Определение

Точками разрыва функции называются точки, в которых функция не определена или не является непрерывной.

Точки разрыва классифицируются следующим образом.

Устранимый разрыв

Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если предел функции в этой точке существует, но в точке функция либо не определена, либо ее значение не равно пределу в этой точке.

Пример

Функция в точке , как известно, имеет предел, равный единице. Однако в самой точке эта функция не определена. Этот разрыв можно устранить, если доопределить функцию в этой точке значением предела в ней:

Доопределенная таким образом функция является непрерывной на всей числовой оси.

Разрыв 1–го рода

Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы: .

Типичным примером является функция Для нее точка является точкой разрыва первого рода.

Разрыв 2–го рода

Точка называется точкой разрыва второго рода функции , если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

1. Типичным примером является функция . Точка является точкой разрыва 2–го рода, так как ,

2. Для функции точка является точкой разрыва 2–го рода, так как ни левого, ни правого предела функции в этой точке не существует.

Кусочно–непрерывные функции

Функция называется кусочно–непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех внутренних точках , за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых имеет разрыв 1–го рода и, кроме того, односторонние пределы в точках и .

 

Упражнения

Вычислить указанные пределы:

			,

56. Определить точки разрыва функций:

, .

57. Найти точки разрыва функции и построить график этой функции.

58. Между следующими бесконечно малыми (при ) величинами , , , , , выбрать бесконечно малые одного порядка с бесконечно малой , а также высшего и низшего порядка, чем .

59. Среди указанных бесконечно малых (при ) величин найти беско­нечно малые, равносильные бесконечно малой : , , , , , .

60. Убедиться в том, что при бесконечно малые величины и будут одного порядка малости. Будут ли они эквивалентны?

 

 

Глава 5. Производная