Рассмотрим функцию 
, определенную на некотором множестве 
и точку 
, быть может, и не принадлежащую множеству 
, но обладающую тем свойством, что в любой 
–окрестности точки 
имеются точки множества значений аргумента 
, отличные от . Рассмотрим вопрос о сходимости соответствующей последовательности значений функции 
.
Существуют два определения предела функции в точке.
Определение
Число 
называется предельным значением функции в точке 
(или пределом функции при x® a), если для любой сходящейся к а последовательности 
значений аргумента 
, элементы 
которой отличны от 
, соответствующая последовательность значений функции сходится к 
.
Для обозначения предельного значения функции используется следующая символика: 
Отметим, что функция 
может иметь в точке только одно предельное значение. Это вытекает из того, что последовательность 
может иметь только один предел.
Рассмотрим несколько примеров.
1. Функция 
имеет в точке 
предел, равный –2. Действительно, пусть 
– любая последовательность значений аргумента, сходящаяся к нулю, т.е. 
, тогда при 
в силу теорем о свойствах сходящихся последовательностей:
.
2. Функция 
определена для всех 
. В точке 
эта функция не имеет предела. Для доказательства возьмем две последовательности значений аргумента, сходящиеся к нулю:
и 
.
Соответствующие последовательности значений функций для них:
.
Таким образом, Определение 1 не удовлетворяется, так как для двух разных последовательностей значений аргумента, сходящихся к нулю, соответствующие последовательности значений функции имеют разные пределы.
Дадим другое определение пределу функции в точке . Пусть функция определена на некотором интервале 
, кроме быть может точки .
Определение
Число называется пределом функции в точке , если для любого числа 
существует такое число 
, что для всех 
, удовлетворяющих условиям 
при 
, выполняется неравенство 
.
Второе определение предела функции означает, что функция имеет предел в точке , если для любой e –окрестности точки можно найти такую d–окрестность точки , что, как только значение аргумента попадет в эту d–окрестность, соответствующее значение функции будет находиться в e –окрестности точки 
(см. рис. 4.3.1).
Рис. 4.3.1
Первое определение предела функции основано на понятии предела числовой последовательности, и его называют определением, «на языке последовательностей» (предел функции по Гейне). Второе определение носит название «на языке d–e» (предел функции по Коши).
Теорема
Первое и второе определения предела функций эквивалентны.
Введем понятия односторонних пределов функции. Дадим определение односторонних пределов функции «на языке d–e».
Пусть функция определена на полуинтервале 
(соответственно на полуинтервале 
, кроме, быть может, точки .
Определение
Число b называется правым (левым) пределом функции в точке а, если для любого существует такое 
, что для всех x из правой (левой) d – окрестности точки а, т.е. 
выполняется неравенство 
Для правого (левого) предела функции используется символическая запись:
или 
или 
.
Приведем в качестве примера функцию
В точке эта функция имеет левый и правый пределы:, 
, 
. Действительно, для любой сходящейся к нулю последовательности , у которой все элементы 
, соответствующая последовательность значений функции состоит только из одного числа –1, т.е., предел слева в точке также равен этому числу. Аналогично устанавливается и предел справа.
Пример
Найти правый и левый пределы функции 
.
Решение
– правый предел.
– левый предел.
Таким образом видим, что левый и правый пределы не равны!
Теорема
Функция имеет в точке а предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы как справа, так и слева, и они равны. В этом случае их общее значение и является двусторонним пределом функции в точке .
