Говорят, что функция задана явно, если она задана формулой, в которой правая частьне содержит зависимой переменной; например, функция 
.
Напротив, функция задана неявно, если она задана уравнением 
, не разрешенным относительно зависимой переменной. Например, функция, заданная уравнением 
, задана неявно. (Заметим, что последнее уравнение задает две функции, 
при 
, и 
при y <0).
Обратная функция.
Пусть 
есть функция независимой переменной 
, определенной на промежутке 
с областью значений 
. Поставим в соответствие каждому 
единственное значение 
, при котором 
. Тогда полученная функция 
, определенная на промежутке с областью значений , называется обратной функцией и обозначается или 
.
Например. Для функции 
обратной будет функция 
.
Можно доказать, что для любой строго монотонной функции 
существует обратная функция.
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
Сложная функция.
Пусть функция 
есть функция от переменной u, определенной на множестве U с областью значений Y,а переменная u в свою очередь является функцией 
от переменной x, определенной на множестве X с областью значений U. Тогда заданная на множестве X функция 
называется сложной функцией.
Определение
Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.
Например, функция
является элементарной, так как здесь число операций сложения, вычитания, умножения, деления и образования сложной функции (
, 
, 
, 
) конечно. Примерами неэлементарных функций являются функции 
, – целая часть числа x.
Классификация функций.
Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).
Определение
Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий.
К числу алгебраических функций относятся:
- целая рациональная функция (многочлен или полином): 
;
- дробно–рациональная функция – отношение двух многочленов;
- иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).
Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К числу трансцендентных функций относятся функции: показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.
Преобразование графиков.
Пусть задан график функции 
. Тогда справедливы следующие утверждения.
1. График функции 
есть график 
, сдвинутый (при a >0 влево, при a <0 вправо) на | a | единиц параллельно оси 0x.
2. График функции 
есть график , сдвинутый (при b >0 вверх, при b <0 вниз) на | b | единиц параллельно оси 0y.
3. График функции 
есть график , растянутый (при m >1) в m раз или сжатый (при 0< m <1) вдоль оси 0y. При 
график функции 
есть зеркальное отображение графика 
от оси 0x.
4. График функции 
есть график , сжатый (при k >1) в k раз или растянутый (при 0< k <1) вдоль оси 0x. При 
график функции 
есть зеркальное отображение графика 
от оси 0y.
