Цилиндрические поверхности и конус второго порядка

Определение

Уравнение вида

(2.23.1)

в пространстве определяет цилиндрическую поверхность, у которой образующие параллельны оси Oz.

Канонические уравнения цилиндров имеют вид:

– эллиптический цилиндр,

– гиперболический цилиндр,

– параболический цилиндр.

Направляющей служит соответствующая кривая второго порядка (эллипс, гипербола, парабола), лежащая в плоскости xOy.

Уравнение конуса второго порядка с вершиной в начале координат, осью которого служит ось Oz, записывается в виде

 

Упражнения

1. Даны две прямоугольные декартовы сиcтемы координат с одинаковыми направлениями осей. Радиус–вектор нового начала координат r₀ { а, b, сi. Найти зависимость между радиусами–векторами r { х,у,z }и r₁ { х₁,у₁,z₁ } произвольной точки относительно старой и новой систем.

2. Даны две прямоугольные декартовы системы координат с общим началом. Найти выражения координат х, у, z произвольной точки относительно старой системы через координаты х₁,у₁,z₁ той же точки в новой системе.

3. Найти формулы преобразования прямоугольных декартовых координат в общем случае.

4. Доказать, что если диагонали четырехугольника делят друг друга по­полам, то четырехугольник есть параллелограмм.

5. Найти радиус–вектор точки пересечения медиан треугольника, вершины которого заданы векторами r₁ ,r₂ ,r₃. Выразить также ответ в координатах.

6. Найти радиус-вектор, а также координаты центра тяжести системы грех материальных точек M₁, M₂, M₃, в которых сосредоточены массы m₁, m₂, m₃.

7. Доказать перпендикулярность векторов А {3, 2, 1} и В {2, –3, 0}.

8. Найти длину и направление вектора А {1, 1, 1}.

9. Найти проекцию вектора А {4,–3, 4} на направление вектора В {2,2,l}.

10. Доказать, что вектор х = b (ас) – а (bс) перпендикулярен к вектору с. 12 Доказать, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке. 13. Какой угол составляют между собой два вектора: a = i + j –4 k, b = i –2 j +2 k?

11. Определить угол между векторами а и b, если вектор a +3 b пер­пендикулярен к вектору 7 а – 5 b, а вектор а – 4 b перпендикулярен к вектору 7 а –2 b

12. Вывести формулу для косинуса суммы двух углов.

13. Дано, что a ´ c = b ´ c, с /=0; можно ли отсюда заключить, что a = b?

14. Вывести формулу для sin (а – b).

15. Найти величину площади параллелограмма, сторонами которого являются векторы а = i – 3 j + k, b = 2 i – j + 3 k.

16. Вычислить площадь треугольника, вершины которого находятся в точках

A (3, 4, – 1), В (2, 0, 3), С (–3, 5, 4).

17. Найти площадь треугольника AВС, если известны проекции его сторон

СА { Х₁, У₁, Z₁ } и СВ { Х₂, У₂, Z₂ }.

18. При обозначениях задачи 20 найти синус угла С.

19. Вычислить векторно–скалярное произведение ij (i+j + k).

20. Показать, что abc = ab (c+la+mb).

21. Показать, что векторы {3, 4, 5}, {1, 2, 2}, {9, 14, 16} компланарны.

22. Проверить, что четыре точки A (1, 0, 1), В (А, 4, 6), С (2, 2, 3) и D (10, 14, 17) лежат в одной плоскости.

23. Вершины треугольной пирамиды находятся в точках: А (0, 0, 0), B (3,4,– 1),

С (2, 3, 5). D (6, 0, –3). Вычислить ее объем.

24. При данных задачи 26 найти длину высоты, опущенной из вершины A. 28. Даны векторы а {3, 0, – 1}, b {2, 4, 3}, с {–1, 3, 2}, d {2, 0, 1}. Вы­числить (а x b) x с и (а x с) (b x d).

25. Найти кратчайшее расстояние между двумя прямыми, если одна проходит через точку А (3, 0, – 1) параллельно вектору В {2, 4, 3}, а другая проходит через точку

С (–1, 3, 2) параллельно вектору D {2, 0,1}.

26. Найти расстояние от точки A (3, 4, 2) до прямой, проходящей через точку B (1, 2, 3) параллельно вектору С {6, 6, 7}

27. Найти уравнение прямой, отсекающей на оси Оу отрезок, величина которого равна 5. и наклоненной к оси Ох под углом: а) 45°; б) 60°; в) 135°:г) 180°.

28. Написать уравнение прямой, наклоненной к оси Ох под углом в 30°в отсекающей на оси Оу отрезок, величина которого равна –3.

29. Найти уравнение прямой, проходящей через начало координат и наклоненной к оси Оx под углом: а) 45°; б) 135°; в) 180°.

30. Привести к виду уравнений с угловым коэффициентом уравнения прямых: а) х – у – 1=0; б) 4 х – 2 у +3 = 0; в) 3 х + 2 у – 5=0; г)2 х + 5 y = 0; д)3 y –7 = 0.

31. Написать уравнение прямой, отсекающей на осях Ох и Оу отрезки, величины которых соответственно равны 3 и –4.

32. Написать уравнения прямых а) 3 х + 2 y – 6 = 0; б) у = 6 х – 3; в) у = х –1; г) 2 х – 3 y +7 = 0 в форме уравнений в отрезках.

33. Найти угол наклона прямой х – y –5 = 0 к оси Ох.

34. Построить прямые, определяемые уравнениями 3 х – 5 y +5 = 0, 5 х + 3 y = 0, 2 х + 3 = 0, 3 у – 7 = 0. 9

35. Какое расположение относительно осей координат имеют прямые, вы­ражаемые уравнениями

, , ,

36. Диагонали ромба, равные 8 и 6 единицам длины, приняты за оси координат. Найти уравнения Сторон этого ромба.

37. Определить площадь треугольника, заключенного между осями коор­динат и прямой 2 х +5 у – 20 = 0.

38. Найти площадь треугольника, ограниченного прямыми у – 2 = 0, 3 х – 2 у + 4 = 0,

х – 2 у – 7 = 0.

39. Какая зависимость должна быть между коэффициентами а и b, чтобы прямая x/a + y/b = 1 была наклонена к оси Ох под углом: а) 45°; б) 60°; в) 135°?

40. Исследовать, как расположены относительно осей координат cле–дующие прямые: а) х – 2 у = 0; б) х – 1 = 0; в) у +1 =0; г) х – у = 0; д) х + у = 0; е) 5 x = 0; ж) 3 у = 0; з) 3 х + 2 у – 6 = 0. Построить эти прямые.

41. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (2, 3) и наклонен­ной к оси абсцисс под углом в 45°.

42. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (2, – 3) парал­лельно прямой, соединяющей точки (1, 2) и (–1, –5).

43. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (1, 2) и перпен­дикулярной к прямой, соединяющей точки (4, 3) и (–2, 1). ^1/18. Даны вершины четырехугольника ABCD: А (2, 2), В (5, 1), С (3, 6), D (0,_3). Найти точку пересечения его диагоналей.

44. Вычислить угол между прямыми:

a) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

е) ; ж) ;

з) ; и)

45. Найти угол между прямыми: 3 х – 2 у + 7 = 0, 2 х + 3 у – 5 = 0.

46. Провести через точку (3, 3) прямые, составляющие углы в 45° с пря­мой 5 x – 4 у – 1 = 0.

47. Найти внутренние углы треугольника, стороны которого выражены уравнениями х – у – 3 = 0, х – З у – 4 = 0, 4 х + 2 y + 3 = 0.

48. Найти длины сторон и внутренние углы треугольника с вершинами A (2, 1), В (3, 1), С (1,2).

49. Даны две вершины треугольника А (2, 2), В (3, 0) и точка пересечения его медиан D (3, 1). Найти третью вершину С. 25. Найти уравнение прямой, которая проходит через начало координат и а) параллельна прямой у = 2 х + 3; б) перпендикулярна к прямой у = x /3 – 1; в) образует угол в 45° с прямой у = 3 х + 5.

50. Найти уравнение прямой, которая проходит через точку (–2, 3) и а) параллельна оси Ох; б) параллельна биссектрисе I координатного угла; в) параллельна прямой у = 4 х – 7; г) образует угол в 60° с прямой у = 2 х – 1; д) перпендикулярна к прямой y = х /2 + 8.

51. Найти уравнения двух перпендикуляров к прямой у = 5 х +1, восставленных в точках пересечения ее с осями координат.

52. Провести через точку пересечения прямых х – у – 3 = 0, 2 х + 3 у –11=0 прямую, параллельную прямой 5 х –4 y –17 = 0.

53. Провести через точку пересечения прямых 3 х – у – 3 = 0, 4 х + 3 y –4 = 0 прямую, перпендикулярную к первой из них.

54. Провести прямую, соединяющую точку пересечения прямых 11 х – 7 у – 9 = 0, 12 х + 13 y – 5 = 0 с началом координат.

55. Через точку пересечения прямых х + у – 6 = 0, 2 х – у– 3 = 0 провести прямую под углом в 45° к прямой 3 х –5 = 0.

56. Найти прямую, проходящую через точку (2, –3) и образующую с осью Ох угол, вдвое больший угла, образуемого с той же осью прямою y = x /2 + 3.

57. Через точку пересечения прямых х – 2 у – 5 = 0 и 2 х – 3 у – 8 = 0 провести прямую, параллельную прямой 3 х – 2 y + 2 = 0.

58. Через точку пересечения прямых 2 х – 3 y + 5 = 0 и х – 4 y + 5 = 0 провести прямую под углом в 45° к прямой 2 х – 3 = 0 (угол отсчитывается от прямой 2х – 3 = 0).

59. Стороны треугольника выражаются уравнениями х + 3 у –2 = 0, 2 x + y + 5 = 0, 3 x –4 = 0. Найти уравнения высот этого треугольника.

60. Вершины треугольника суть (0, 5), (1, –2), (–6, 5). Найти уравнения перпендикуляров, восставленных в серединах его сторон, а также точку пересечения этих перпендикуляров.

61. Вершины треугольника суть (0, 1), (1, 0), (1, 1). Найти уравнения медиан.

62. Вершины треугольника суть (2, 1), (0, 7), (–4, –1). Найти уравнения медиан и точку их пересечения.

63. Найти уравнение прямой, проходящей через начало координат и через точку пересечения медиан треугольника, стороны которого выражаются уравнениями у = 4 х +4, у = – х +4, 4 у = х +1.

64. Найти уравнение прямой, проходящей через начало координат и через точку пересечения медиан треугольника, стороны которого выражаются уравнениями х – у – 4 = 0, 2 х – 11 y + 37 = 0, 2 х + 7 у – 17 = 0.

65. На прямой 4 х +3 у – 12 = 0 найти точку, равноудаленную от точек (–1, –2) и (1, 4).

66. На прямой 3 х +2 у – 5 = 0 найти точку, равноудаленную от точек (–1, –1) и (3, 3).

67. Найти точку, равноудаленную от точек (2, 3), (4, 2), (–1, 0). 44. Даны уравнения двух сторон параллелограмма: х+у –1=0, 3 x – у + 4 = 0 и точка пересечения его диагоналей (3, 3). Найти уравнения двух других сторон.

68. Даны две вершины равностороннего треугольника ABC: A (2, 1) и В (2, 5). Найти третью вершину С.

69. Даны уравнения прямых: а) 4 х – 7 у + 9 = 0; б) 3 х/ 4 –2 y /5– 3 = 0; b)4 x /5 – 3 y /5– 1=0; г) x/ 3 + y – 5 = 0; д) 5 x /13 – 12 y /13 + 5 = 0. Какие из этих уравнений являются уравнениями в нормальном виде?

70. Найти уравнение прямой по следующим условиям: ее расстояние от начала координат равно 7 единицам длины и угол между осью Ох и перпендикуляром к искомой прямой, проведенным из начала координат, равен 120°.

71. Написать уравнение прямой, если известно, что ее расстояние от начала координат равно 5 и что перпендикуляр, опущенный на нее из начала координат, составляет с осью Ох угол в 60°.

72. Привести к нормальному виду уравнения следующих прямых: а) 3 x + 4 y + 15 = 0; б) 6 x – 8 у – 9 = 0; в) 2 х + 2 у –7 = 0; г) х + y + 5 = 0.

73. Найти длины перпендикуляров, опущенных из начала координат на прямые

15 х – 8 y –51=0 и 4 x +3 y + 35 = 0. Найти также координаты оснований этих перпендикуляров.

74. Вершиной треугольника служит точка (5, –3), а основанием –отрезок, соединяющий точки (0,–1) и (3, 3). Найти длину высоты треугольника.

75. На прямой х + 3 y = 0 найти точку, равноудаленную от начала координат и от прямой х + 3 у – 2 = 0.

76. Дана прямая 3х – 4у– 10 = 0. Найти уравнение прямой, параллельной данной и отстоящей от нее на расстоянии 3 единиц.

77. Дана прямая 5 х + 12 у + 2 = 0. Найти уравнение прямой, параллельной данной и отстоящей от нее на расстоянии 3 единиц.

78. Найти расстояние между параллельными прямыми 3 x +4 y –15 = 0 и 3 x + 4 y + 20 = 0.

79. Найти расстояние между параллельными прямыми 5х– 12y + 28 = 0 и 5x– 12y+15 = 0.

80. Даны уравнения оснований трапеции: 2 х + у – 5 = 0, 4 х + 2 у – 7 = 0. Найти ее высоту.

81. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (5, 2) на расстоянии 4 единиц от точки (–3, 1).

82. Из точки (1, –2) провести касательные к окружности радиуса 2 /5, центр которой лежит в точке (3, 6).

83. Найти биссектрисы углов, образуемых прямыми 3 х + 4 y – 9 = 0 и 12 x + 9 y – 8=0. Проверить, что эти биссектрисы перпендикулярны друг к другу.

84. Найти биссектрисы углов, образуемых прямыми х + 8 у – 26 = 0 и 4 х + 7 y + 29 = 0.

85. Найти уравнение биссектрисы внешнего угла А треугольника с вершинами А (0, 0), В (3, 0), С (0, 7).

86. Найти точку, равноудаленную от точек М (4, –3) и N (2, –1) и отстоящую от прямой 4 x + 3 y –2 = 0 на расстоянии, равном 2.

87. Написать уравнение окружности, зная, что: а)центр окружности лежит в точке (–2,–3) и радиус ее равен 3 единицам длины; б) центр лежит в точке (2, – 3) и окружность проходит через точку (5, 1); в)концы одного из диаметров имеют координаты (3, 9) и (7, 3).

88. Найти уравнение окружности, проходящей через точки (9, 3), (– 3, 3), (11, 1).

89. Какие значение должны иметь коэффициенты уравнения Ах² + Вху + Су² + Dx + Еу + F = 0, чтобы оно определяло окружность радиуса 5 с центром в точке (3, 2)?

90. Определить координаты центра и радиус окружности, выражаемой уравнением: а) х² + y² – 4 x + 2 y + 1 = 0; б) 2 х² + 2 у² + 5 х – 3 у – 2 = 0; в) х² + у² – 6 х – 7 = 0;

г) х² + y² +3 y = 0.

91. Найти уравнение окружности, касающейся осей координат на расстоя­нии а единиц от начала координат.

92. Найти уравнение окружности, касающейся оси Оу в начале координат и пересекающей ось Ох в точке (6, 0).

93. Найти уравнение окружности, касающейся оси Ох в начале координат и пересекающей ось Оу в точке (0, – 8).

94. Найти уравнение окружности, касающейся оси Ох в точке (–5, 0) и имеющей радиус, равный 3 единицам длины.

95. Найти уравнение окружности, центр которой лежит в точке (4, 7) и которая касается прямой З х – 4 у + 1 =0.

96. Вывести уравнение касательной к окружности (х – a)² + (у – b)²= r ² в точке (х ₀, y₀).

97. Составить уравнение касательной к окружности х ²+ у ² = r 2 в точке.

98. Написать уравнение касательной к окружности (x + 1)² + (y – 3)² = 25 в точке (3, 6).

99. Найти уравнения касательных к окружности х ² + y ² = 10. прохо­дящих через точку (–5, – 5).

100. Найти уравнения касательных к окружности x ² + y ² = 5, проходящих через точку (–7, 1).

101. а) Найти касательные к окружности x ² + y ² = 13, параллельные прямой 4 х +6 у – 5 = 0. б) Найти касательные к окружности х ² + y ² + 5 x = 0. перпендикулярные к прямой 4 х – 3 у + 7 = 0.

102. Найти длину (d) касательной, проведенной из точки M (7, 8) к окруж­ности (х – 2)² + (у – 3)² = 14.

103. а) Даны точки А (–6, 0) и В (2, 0). Найти геометрическое место точек, из которых отрезки ОА и ОВ видны под равными углами, б) Все хорды ON окружности x ² + у ² = 2 ах, проведенные из начала координат, продолжены за точку N на расстояние NM =0 N. Найти геометрическое место точек М.

104. Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что: а) полуоси его равны соответственно 5 и 4;б) расстояние между фокусами равно 8 и большая ось равна 10; в)малая полуось равна 2 и расстояние между фокусами равно 6; г) большая полуось равна 10 и эксцентриситет равен 0,6; д) малая полуось равна 6 и эксцентриситет равен 0,8; е)эксцентриситет равен 0,8 и расстояние между фокусами равно 8; ж)сумма полуосей равна 10 и расстояние между фокусами равно 4 . 19. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением: а) 16 х ²+ 25 y ² = 400, б) 9 х ^г + у ^г – 36.

105. Определить эксцентриситет эллипса, если: а)отрезок, соединяющий его фокусы, виден из конца малой оси под прямым углом; б)расстояние между фокусами равно расстоянию между концами большой и малой осей; в) его большая ось втрое больше малой; г) его оси относятся, как 5:3. 21 Дан эксцентриситет эллипса е. Найти отношение его полуосей. Как величина эксцентриситета характеризует форму эллипса?

106. Эллипс касается оси ординат в начале координат, а центр его нахо­дится в точке (5, 0). Составить уравнение эллипса, зная, что эксцентриситет его равен 0, 6.

107. Эллипс касается оси абсцисс в точке (8,0) и оси ординат в точке (0,–5). Написать уравнение эллипса, если известно, что оси его параллельны осям координат.

108. Эллипс касается оси ординат в точке (0, 5) и пересекает ось абсцисс в точках (5, 0) и (11, 0). Составить уравнение эллипса, если известно, что оси его параллельны осям координат.

109. Сколько касательных, к эллипсу x ²/9 + y ²/4 = 1 можно провести из точки (1, 1), сколько из точки (3, 1) и сколько из точки (0, 2)?

110. Написать уравнение касательной к эллипсу x ²/36 + y ²/12 = 1 в точке (–3,3).

111. Известно, что прямая 2 х – 5 у – 30 = 0 касается эллипса x ²/75 + y ²/24 = 1.Найти точку касания.

112. Найти уравнения касательных, проведенных из точки (4, – 1) к эллипсу x ²/6 + y ²/3 = 1

113. Найти касательные к эллипсу x ²/9 + y ²/2 = 1 проходящие через точку (–3, 1).

114. Найти касательные к эллипсу x ²/5 + y ²/4 = 1, параллельные прямой 6x– 2 у – 5 = 0.

115. Найти касательные к эллипсу x ²/6 + y ²/3 = 1, перпендикулярные к прямой х – у + 5 = 0.

116. Написать уравнения директрис эллипса x ²/96 + y ²/32 = 1

117. Написать уравнение эллипса, малая полуось которого равна 2 и директрисами которого служат прямые x = ±10.

118. Найти уравнение эллипса, расстояние между фокусами которого рав­няется 2 и расстояние между директрисами 10.

119. Найти эксцентриситет эллипса, если расстояние между его директрисами в три раза больше расстояния между фокусами.

120. Расстояние между директрисами эллипса равняется 36. Найти уравнение этого эллипса, зная, что фокальные радиусы некоторой его точки равны 9 и 15.

121. Расстояние между фокусами эллипса равно 8, расстояние между его директрисами равно 12,5. Найти простейшее уравнение этого эллипса.

122. Дан эллипс x ²/6 + y ²/5 = 1. Через точку (1, 1) провести хорду, деля­щуюся в этой точке пополам.

123. Дан эллипс x ²/8 + y ²/5 = 1. Через точку (2, – 1) провести хорду, деля­щуюся в этой точке пополам.

124. Составить простейшее уравнение гиперболы, зная, что: а)полуоси ее равны соответственно 5 и 4 единицам длины; б) расстояние между фокусами равно 14, а расстояние между вершинами 12; в) действительная полуось равна 5 и эксцентриситет равен 1,4; г) расстояние между фокусами равно 16 и эксцентриситет равен 3/4; д) действительная полуось равна и гипербола проходит через точку; е) гипербола проходит через точки (2 , – 3) и (–7,–6 ).

125. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет гиперболы, заданной уравнением:а) 25 х ² – 144 y ² = 3600, б) 16 y ² – 9 x ² = 144.

126. а) Найти зависимость между эксцентриситетом гиперболы и углом между ее асимптотами; б) выразить отношение полуосей гиперболы через эксцентриситет. Как влияет величина эксцентриситета на форму гиперболы?

127. Дана гипербола x ²/15 – y ²/6 = 1. Найти уравнение диаметра, длина которого равна 2 .

128. На гиперболе x ²/16 – y ²/9 = 1 взята точка, абсцисса которой равна 8 и ордината положительна. Вычислить фокальные радиусы этой точки.

129. Дан эллипс x ²/8 + y ²/5 = 1. Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах данного эллипса.

130. Найти касательные к гиперболе x ²/10 – y ²/6 = 1 в точках пересечения ее с прямой 3 х –5 y = 0.

131. Найти касательные к гиперболе x ²/9 – y ²/8 = 1, проходящие через точку (2, 1).

132. Найти касательные к. гиперболе x ²/4 – y ²/5 = 1, параллельные прямой 3 х – 2 у = 0

133. Доказать, что для гиперболы x ²/ a ² – y ²/ b ² = 1 произведение расстояний от фокусов до касательной равно b ².

134. Доказать, что асимптоты равнобочной гиперболы делят пополам углы–. между ее сопряженными диаметрами.

135. 1) Найти отклонение фокуса гиперболы x ²/ a ² – y ²/ b ² = 1 от асимптоты. 2) Доказать, что произведение расстояний любой точки гиперболы до асимптот есть величина постоянная.

136. Даны фокальный параметр р и эксцентриситет e гиперболы. Найти полуоси.

137. Гипербола касается прямой х – у – 3 = 0 в точке (5, 2). Составить уравнение этой гиперболы.

138. Найти касательные к гиперболе x ²/2 – y ²/7 = 1, перпендикулярные к пря­мой х +2 у – 3 = 0.

139. Найти уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее директри­сами равно 6, а расстояние между фокусами 10.

140. Найти эксцентриситет гиперболы, если известно, что расстояние между. ее директрисами в три раза меньше расстояния между фокусами.

141. Найти уравнения двух сопряженных диаметров гиперболы x ²/6 – y ²/4 = 1 угол между которыми равен 45^o.

142. Найти уравнения диаметров гиперболы x ² – y ²/4 = 1, длина которых равна 2 .

143. Дана гипербола x ²/9 – y ²/25 = 1. Написать уравнения асимптот.

144. Найти уравнение гиперболы, если известно, что: а) а = b и директрисы даны уравнениями х = ± 2; б) асимптоты даны уравнениями y = ± x /2^ z и расстояние между фокусами равно 10; в) асимптоты даны уравнениями y = ±3 x /5 и гипербола проходит через точку (10, – 3 ).

145. Даны точки А (– 1,0) и В (2, 0). Точка М движется так, что в тре­угольнике АМВ угол В остается вдвое больше угла А. Определить траекторию движения.

146. Две прямые вращаются около двух неподвижных точек в противо­положных направлениях и с одинаковой угловой скоростью. При начале дви­жения одна из этих прямых совладает с прямой, соединяющей данные точки, а другая перпендикулярна к этой прямой. Найти геометрическое место точек пересечения этих прямых.

147. Составить уравнение касательной к гиперболе ху = т в точке (х ₀, у ₀).

148. Составить уравнение параболы, зная, что: а) осью симметрии параболы служит ось Ох, вершина лежит в начале координат и расстояние от фокуса до вершины' равно 4 единицам длины; б) парабола симметрична относительно оси Ох, проходит через точку (2, – 4) и вершина ее лежит в начале координат; в) парабола симметрична относительно оси Ох, проходит через точку (– 2, 4) и вершина ее лежит в начале координат; г) парабола симметрична относительно оси Оу, фокус лежит в точке (0, 3) и вершина совпадает с началом координат; д) парабола симметрична относительно оси Оу, проходит через точку (4, 2) и вершина ее лежит в начале координат; е) парабола симметрична относительно оси Оу, проходит через точку (– 4, – 2) и вершина совпадает с началом координат; ж) фокус имеет координаты (3,0), директриса служит осью ординат и ось симметрии – осью абсцисс; з) фокус имеет координаты (0, 3), директриса служит осью абсцисс и ось симметрии – осью ординат.

149. Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее лежит в точке (a, b), параметр равен р и направление оси симметрии совпадает: а) с положительным направлением оси Ох; б)с отрицательным направлением оси Ох; в) с положительным направлением оси Оу; г) с отрицательным направлением оси Оу.

150. Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее лежит в начале координат, направление оси симметрии совпадает с отрицательным направлением оси Ох, а параметр р равен расстоянию от фокусов гиперболы 4 х ² – 9 у ² – – 36 = 0 до асимптот.

151. Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее лежит в точке (– 2, 1), направление оси симметрии совпадает с отрицательным направлением оси Оу, а параметр р равен расстоянию между директрисами эллипса 3 х ² + 4 y ²–48 = 0.

152. Найти длину хорды, проходящей через фокус параболы у ² = 2 рх и перпендикулярной к ее оси симметрии.

153. Дана парабола y ² = 6 x. Через точку (4, 1) провести такую хорду, которая делилась бы в этой точке пополам.

154. Дана парабола у ² = – 8 х. Через точку (– 1, 1) провести такую хорду, которая в этой точке делилась бы пополам.

155. Найти уравнения диаметров параболы (y ² = 8 x, сопряженных с хордами, наклоненными к ним под углом в 45°.

156. Дана парабола у ²= 10 х. Найти к этой параболе касательные в точках, в которых она пересекается с прямой у = 4 х – 5.

157. Найти такую точку на параболе (y ²=12 х, чтобы касательная в ней образовывала с осью симметрии параболы угол в 30°.

158. Найти касательные к параболе у ² = 4 х, проходящие через точку (3,–4).

159. Найти уравнение касательной к параболе у ²=16 х, которая была бы: а) параллельна прямой 2 х – у + 5 = 0; б) перпендикулярна к прямой х – у – 7 = 0.

160. Найти геометрическое место центров кругов, проходящих через данную точку и касающихся данной прямой.

161. Указать особенности в расположении следующих прямых:

a) б)

в) г)

д) е)

ж)

 

162. При каком значении свободного члена D прямая 3 х – у + 2 z – 6 = 0, х + 4 у – z + D = 0 пересекает ось Оz?

163. При каких значениях коэффициентов В и D прямая х – 2 y + z – 9 = 0, 3 x + By + z + D =0 лежит в плоскости хОу?

164. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты в уравнениях прямой Ax + By + Cz + D =0, A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0, для того чтобы прямая: а) проходила через начало координат; б) была парал­лельна оси Ох; в) пересекала ось Оу; г) совпадала с осью Oz?

165. Определить, лежат ли точки A (5, – 2, – 3) и В (8, 3, 1) на прямой 5 х – 3 у – 31=0, 3 х + 4 y + 7 z + 14 = 0.

166. Проверить, что, исключив из двух уравнений предыдущей задачи: а) координату у, б) координату х, получим в обоих случаях уравнение плоскости, проходящей через точку л и не проходящей через точку В.

167. Дана прямая 2 х –3 y + 4 z – 12 = 0, х + 4 у – 2 z – 10 = 0. Найти уравнения плоскостей, проектирующих эту прямую на координаты; плоскости.

168. Дана прямая 3 x +2 y –4 z –5 = 0 6 х – y –2 z + 4 = 0. Найти уравнения проекций этой прямой на координатные плоскости. 9*. Найти проекцию прямой х + у – z –1=0, х – у + z +1=0 на плоскость х + y + z = 0.

169. Найти проекцию прямой 2 x + 3 y –4 z + 5 = 0, x – 6 y + 3 z – 7 = 0 на плоскость 2 х + 2 у + z – 15 = 0.

170. Определить направляющие косинусы прямых:

а) б)

171. Привести уравнения прямых

а) б) в)

к каноническому виду.

172. Найти углы между прямыми:

 

173. Определить направляющие косинусы прямой х + 2 у – z – 2 = 0, х + у – 3 z – 7 = 0.

174. Найти направляющие косинусы прямой х + у – z = 0, х – у +2 = 0.

175. Найти угол между прямыми

176. Через точку (2, – 3, – 8) провести прямую, параллельную: а) оси Оz; б) прямой (x –2)/3 = (y –4)/(–2) = (z +3)/5.

177. Составить уравнения прямой, проходящей через точки (3, – 2, – 1) и (5, 4, 5).

178. Найти уравнения прямой, проходящей через начало координат и через точку (а, b, с).

179. Проверить, лежат ли прямые

 

а)

б)

в)

в одной плоскости.

180. Найти уравнения прямой, проходящей через точку (– 3, 5, – 9) и пересекающей прямые:

181. Составить уравнения прямой, проходящей через точку (1, 2, 3), пере секающей ось Оz и перпендикулярной к прямой x – y = z.

182. Найти уравнения прямой, пересекающейся с прямыми

и перпендикулярной к ним обеим.

183. Провести через точку (7, 3, 5) прямую, направляющие косинусы которой суть 1/3, 2/3, 2/3. Найти уравнения прямой, пересекающей первую прямую, проходящей через точку (2, – 3,–1) и образующей с осью Ох угол в 60°.

184. Найти уравнения прямой, проходящей через точку (а, b, с) и пересе­кающей прямые

185. Найти уравнения прямой, проходящей через точку (а, b, с), пересека­ющей ось Ог и перпендикулярной к прямой

186. Найти уравнения прямой, пересекающейся с прямыми

и перпендикулярной к ним обеим.

187. Найти координаты точки пересечения прямой

и плоскости 2 х + 3 у + 3 z – 8= 0.Найти координаты точки пересечения прямой

и плоскости 3 х – 4 y + 7 z – 33 = 0.

188. Найти угол между прямой 3 х –2 у = 24, 3 х – z = – 4 и плоскостью 6 х + 15 у – 10 z + 31 = 0.

189. Найти уравнения перпендикуляра, опущенного из точки (1, 2, 3) на плоскость: а) Ах – 5 у – 8 z + 21=0; б) 3 х + 11 у = 0; в) z = 8.

190. Через точку (3, –2, –1) провести плоскость, перпендикулярную к прямой

191. Найти кратчайшее расстояние от точки А (1, 2, 3) до прямой х + у – z = 1, 2 х + z = 3.

192. Найти кратчайшее расстояние между двумя прямыми х + у – z =1, 2 х + z = 3 и х = у = = z – 1. 35. Каково должно быть значение коэффициента р, чтобы прямая

была параллельна плоскости 3 x – 4 у + 7 z – 33 = 0?

193. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку (–1, –2, 3) и параллельной прямым

194. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (2, –3, 1) и через прямую

195. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую х + у =0, х – у + z – 2 = 0 параллельно прямой х = у = z.

196. Провести через прямую

плоскость, параллельную прямой

197. Найти уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые

198. Через точку (–1, 0, 4) провести прямую, параллельную плоскости 3 х – 4 y + z – 10 = 0, так, чтобы она пересекла прямую

199. Составить уравнение геометрического места всех прямых, проходящих через начало координат перпендикулярно к прямой х = у = z.

200. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку (a, b, с) и парал­лельной прямым с направляющими коэффициентами (m ₁, n ₁, p ₁), (m ₂, n ₂, p ₂).

201. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (а, b, с) и через прямую

202. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую Ax + By + Cz + D = 0, A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ =0 параллельно прямой

203. Провести через прямую

плоскость, параллельную прямой

204. Найти уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые

205. Через точку (а, b, с) провести прямую, параллельную плоскости

Ax + By + Cz + D =0,

206. так, чтобы она пересекала прямую

207. Составить уравнение геометрического места всех прямых, проходящих через точку (а, b, с) перпендикулярно к прямой

208. Какую поверхность определяет уравнение х ²= у ²⁺ z ²?

209. Какую поверхность определяет уравнение

Ах ² + 2 Вху + Су ² + 2 Dxz + 2 Еуz + Fz ² = 0?

210. Какую поверхность определяет уравнение х ² + y ² + 4 z ² – 1 = 0?

211. Какую поверхность представляет уравнение х ² + у ² – z ² – 1=0?

212. Какую поверхность определяет уравнение х ² – у ²– z ²–4 = 0?

213. Какая поверхность определяется уравнением z = х ²+ у ²?

 

Глава 3. Введение в математический анализ

Понятие множества

Понятие множества является одним из основных в математике. Система, семейство, совокупность – эти термины можно считать синонимами слова «множество».

Определение

Множество – можно определить как совокупность объектов, объединенных по определенному признаку.

Например, множество зрителей в данном кинотеатре, множество студентов, совокупность коммерческих банков, имеющих уставный фонд не ниже 100 млн. грн. и т.д. Множество может содержать конечное или бесконечное число объектов.

Определение

Объекты, составляющие множество, называются его элементами, или точками множества.

Обычно множества обозначаются большими буквами, а входящие в них элементы – малыми буквами. Элемент x из множества X соответствует записи . Если же элемент x не принадлежит множеству X, то это соответствует записи .

Пусть X и Y – два множества. Тогда между ними можно определить следующие соотношения.

1. Если оба множества состоят из одних и тех же элементов, то они совпадают, что соответствует записи .

2. Если все элементы множества Y содержатся в множестве Y, то говорят, что X является подмножеством Y (или ).

3. Если ни один элемент множества X не содержатся в множестве Y, то, значит, и само множество X не содержится в Y (или ).

В математике используется понятие пустого множества, обозначаемого символом Æ. Это множество не содержит ни одного элемента и, поэтому, оно является подмножеством любого множества.

Введем понятие суммы множеств и их пересечения.

Определение

Суммой, или объединением, множеств X и Y называется совокупность элементов, входящих как в множество X, так и в множество Y. Обозначается объединение – X È Y.

Например, пусть X – множество государственных предприятий с годовым оборотом не ниже S денежных единиц, а Y – множество негосударственных предприятий с тем же нижним порогом годового оборота. Тогда X È Y будет множество всех предприятий с указанным нижним ограничением S.

Определение

Пересечением множеств X и Y (или их общей частью) называется совокупность одинаковых элементов, входящих как в множество X, так и в множество Y. Обозначается пересечение – X Ç Y.

Отсутствие элементов со свойствами множеств X и Y одновременно означает, что пересечение этих множеств – представляет собой пустое множество Æ.

Определение

Разностью множеств X и Y называется множество Z, содержащее все элементы множества X, не содержащиеся в Y; эта разность обозначается – Z = X \ Y.

При записи математических выражений целесообразно употреблять математическую символику. Вместо выражения «любое x из множества X» употребляют запись , где перевернутая латинская буква " (квантор общности) взята от начала английского слова Any (любой). Аналогично, вместо выражения «существует элемент x из множества X» кратко записывают , где перевернутая латинская буква $ (квантор существования) является начальной буквой английского слова Existence – существование.

Пример

Даны множества и . Найти объединение, пересечение и разность множеств.

Решение

Очевидно, что объединение двух данных множеств , их пересечение – , а разность .

Определение

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми множествами.

Из школьного курса алгебры известны множества R – действительных чисел, Q – рациональных чисел, l - иррациональных чисел, Z – целых чисел, N – натуральных чисел.

Множество вещественных чисел является бесконечным. Оно состоит из рациональных и иррациональных чисел.

Определение

Рациональным называется число вида , где p и q – целые числа.

Всякое рациональное число является либо целым числом, либо представляет собой бесконечную десятичную периодическую дробь.

Определение

Иррациональное число представляет собой бесконечную десятичную непериодическую дробь.

Например, рациональное число 1/9 можно представить в виде 0,1111111…, а иррациональное число .