Глава 2. Аналитическая геометрия

Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Координаты вектора

Величины, характеризующиеся только числовым значением (масса, объем, плотность, стоимость и другие), называются скалярными.

Величины, характеризующиеся и числовым значением, и направлением (сила, скорость, момент силы и другие), называются векторными.

Определение

Вектор – это направленный отрезок, на котором определены операции сравнения сложения и умножения на вещественное число. Векторы обозначаются так: a, , , .
(Рис. 2.1.1)

Рис. 2.1.1	Рис. 2.1.2–а	Рис. 2.1.2–б

Определение

Модуль (длина) вектора обозначается так: | a |, b, .

Определение

Векторы, лежащие на одной или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Определение

Векторы равны тогда и только тогда, когда они:

1. коллинеарны;

2. одинаково направлены;

3. имеют равные длины.

.

Вектор можно произвольно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства.

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым. Нулевой вектор не имеет определенного направления.

Определение

Векторы, лежащие в одной или в параллельных плоскостях, называются компланарными. (Рис. 2.1.2–а и 2.1.2–б).

Линейные операции над векторами

1. Сложение векторов.

Определение

Суммой двух векторов a и b называется вектор c = a + b, начало которого совпадает с началом вектора a, а конец – с концом вектора b при условии, что начало вектора b совпадает с концом вектора a (рис. 3–а). Это правило сложения векторов называется еще “ правилом треугольника ”.

Рис. 2.1.3–а	Рис. 2.1.3–б

 

Вектор c = a + b можно построить также по “ правилу параллелограмма ”: в точке O совместим начала векторов a и b и на этих векторах, как на сторонах, построим параллелограмм. Вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма с началом в точке O, и является вектором c (рис. 2.1.3–а).

Сумма векторов обладает как переместительным свойством (рис. 2.1.3–б):

a + b = b + a

(2.1.1)

так и сочетательным (рис. 2.1.4):

(a + b) + c = a + (b + c).

(2.1.2)

 

Рис. 2.1.4

Подобно построению суммы трех векторов можно построить сумму любого конечного числа векторов.

2. Умножение вектора на число

Определение

Произведением вектора a на число l называется вектор c = l a, удовлетворяющий следующим условиям:

1. ;

2. a коллинеарен вектору a;

3. , если > 0 и , если < 0.

Определение

Вектор называется противоположным вектору .

Можно убедиться, что произведение вектора на число обладает следующими свойствами:

(2.1.3)

Определение

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.

Определение

Вектор , имеющий длину, равную единице и параллельный вектору , называется ортом вектора .

Из определения умножения вектора на число следует, что , т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт (единичный вектор того же направления).

3. Вычитание векторов.

Определение

Разностью векторов a и b называется такой вектор c = a – b, сумма которого с вычитаемым вектором b дает вектор a (рис. 2.1.5–а).

.

(2.1.4)

Если на векторах a и b построить параллелограмм, то одна из диагоналей совпадает с суммой a + b, а другая – с разностью a – b (рис. 2.1.5–б).

Определение

Углом между векторами a и b называется наименьший угол , на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым (рис. 2.1.6).

Рис. 2.1.6

Проекция вектора на ось

Пусть даны в пространстве вектор и ось l. Точки M₁ и N₁ являются проекциями на ось l точек M и N (рис. 2.1.7).

 

Рис. 2.1.7

Определение

Проекцией вектора на ось l называется число, равное длине вектора , лежащего на этой оси, если параллелен l, и длине вектора взятой со знаком “минус”, если антипараллелен l.

(2.1.5)

Проекция вектора на ось обладает следующими свойствами:

, где – угол между и l,

(2.1.6)

Способы задания вектора

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат. Положение точки M (рис. 2.1.8) определяется с помощью координат x, y и z: M(x, y, z).

Рис. 2.1.8

(2.1.7)

Определение

Вектор называется радиус–вектором точки M.

На каждой оси координат выберем единичный вектор, направленный также, как и ось. Обозначим эти векторы соответственно i, j, k. Совокупность этих векторов называется базисом декартовой (прямоугольной) системы координат.

а) Задание вектора его координатами.

Определение

Координатами вектора a называются его проекции на координатные оси.

(2.1.8)

где , , .

Из свойств проекций вектора на ось следует, что, если ,

, то , ,

(2.1.9)

Зная координаты вектора a, можно вычислить его длину по формуле

(2.1.10)

Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны:

(2.1.11)

б) Задание вектора его разложением по базису.

Рассмотрим вектор (рис. 2.1.9).

Рис. 2.1.9

Тогда

(2.1.12)

Легко убедиться, что

, , .

(2.1.13)

Окончательно

(2.1.14)

Такое представление вектора называется его разложением по базису i, j, k.

в) Задание вектора координатами его начала и конца.

Пусть , где , (рис. 2.1.10).

Рис. 2.1.10

 

Векторы и имеют такие же координаты, как и точки M и N соответственно:

, .

(2.1.15)

Как следует из рис. 2.1.10, , тогда

(2.1.16)

Следовательно

, , .

(2.1.17)

Расстояние между двумя точками определяется по формуле:

.

Таким образом

.

(2.1.18)

г) Задание вектора его модулем и направляющими косинусами.

Направляющими косинусами вектора называются углы, которые образует этот вектор с осями OX, OY и OZ. Они обозначаются , и (рис. 2.1.11).

Рис. 2.1.11

 

Если известны углы , , , а также модуль (длина) вектора a, то координаты вектора можно найти по формулам:

, , .

(2.1.19)

Откуда

, , .

(2.1.20)

Определение

, и называются направляющими косинусами вектора a.

Найдем сумму квадратов этих косинусов:

(2.1.21)

Формула выражает связь между направляющими косинусами.

Пример

Даны начало M(3,–2,4) и конец N(5,0,3) вектора . Найти координаты этого вектора и его длину.

Решение

; ; . Итак, вектор . Вычислим длину вектора :