Раздел 3. Дифференциальное исчисление

ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Производная функции

Задание 83. Найти производные функций:

 

1. а) y=x⁵- 4 x - 2 x+ 3; б) y=x^{2 .} cosx; в) y= ;

2. а) y=x⁷+ 2 x⁴- + 5; б) y = x ^{3 .} 5 ^x; в) y=ln(x ²+ cos 3 x);

3. а) y= 2 x⁸- 3 x²+ -2; б) y=tgx ^. e^x; в ) y= ;

 

4. а) y=x⁴- 5 x³+ 2 ^x; б) y= ; в) y=sin( 1 - 5 x²);

 

5.а ) y= 3 x⁶+ 5 x⁴-x+ 7; б) y=x^{7 .} ctgx; в) y=arcsin 7 x;

 

6. а) y= 4 x⁵-x²+ + 4; б) y= ; в) y=arctg ;

 

7.а) y= 2 x⁵+x ⁴ -x+ 3; б) y=x ⁵ _' 4 ^x; в) y=arccos (6 x -3);

 

8.а) y=x ¹⁰ - 3 x ⁵ + 4 x- 2; б) y= ; в) y=ln( 2 + 5 x);

 

9. a) y=x ⁸ + 4 x²- 9 x+ 5; б) y=x ³ _' lnx; в) y= 2 ^sinx;

 

10. а) y= 4 x ⁷ - 5 x ³ -x+ 1; б) y= _' tgx; в) y=e^cos3x;

 

11. а) y= 7 x⁵+ 2 x³- 3 ; б) y= ; в) y=ln( 1 - 7 x+x ²);

 

12. а) y= 5 x ⁴ - 2 x ² + -1; б) y=x ³_' sin 2 x; в) y= ;

 

13. а) y= 9 x⁵+ 3 x⁴- 7 x+ 2; б) y=log x_' 4^x; в) y=tg( 4 x+ 3 );

 

14. а) y= 2 x⁶- 7 x³+ 4 ; б) y= ; в) y= 2 arctg 7 x;

 

15. а) y= 5 x⁷+ 4 x+ 3 ; б) y=x ⁴_' sinx; в) y=ln( 1 +sinx);

 

16. а) y=sinx+ 3 x²- 5; б) y= ; в ) y=tg (2 x- 1);

 

17. а) y=x ⁷ - 2 x ³ + 4 x-1; б) y=x ⁵ _' lnx; в ) y=arccos 7 x;

 

18. а) y= 3 x ⁴ + 5 x - ;б) y=x ³ _' cosx; в ) y= 9 ctg( 5 -x);

 

19. а) y= 4 x ³ + 5 x ² - 3; б) y= ; в ) y= ;

 

20. а) y=x ⁶ + 9 x ³ - 7 x+ 2; б) y=x ⁴_' cosx; в ) y=log ( 4 x+ 3);

 

21. а ) y= 3 x ⁷ + 2 x ⁴ - 9; б) y= ; в ) y=e ;

 

22. а) y= 2 ^x+ 3 x²+ 4 x- 1; б ) y=x ³_' cosx; в ) y=ln (x-sin 2 x);

 

23.а) y=x ⁵ - 2 x ⁴ + 9 x- 7; б) y=x ⁵ _' sinx; в ) y= ;

 

24. а ) y= 3 x ⁸ - 7 x ³ + 5; б ) y=x ⁴_'5 ^x; в) y=tg (9 x+ 4);

 

25. а) y= 4 x⁷- 2 x+ 8; б) y= ; в ) y=sin (5 +lnx);

 

26. а) y=x ⁸ - 4 x³+ 6 x- 2; б) y=x ⁴ _' e^x; в ) y=arctg( 2 x+ 3);

 

27. а) y= 6 x- 1 + 4 ^x; б) y=x ⁵ _' sinx; в ) y= ;

 

28. а) y= 4 x ⁸ - 9 x+ 3; б) y= ; в ) y=sin (5 +ln 2 x);

 

29. а) y= 9 x²+ 6 x- 4; б) y=x ⁶ _' cosx; в) y= (5 +sinx) ;

 

30. а) y= 5 x³- 4 x²+ 3 x- 6; б) y= ; в ) y= (4 x+tg 3 x).

Задание 84. График функции y=f(x) изображен на рисунке:

Чему равна производная этой функции в точке x₀ ?

Задание 85. Найти уравнение касательной к графику функции в точке (1;1).

 

Задание 86. Закон движения материальной точки имеет вид х (t)=12t³+2t+4, где х (t) – координата точки в момент времени t. Найти скорость и ускорение точки в момент времени t =1.

Дифференциал функции и его применение

Задание 87. Найти дифференциал функции:

 

а) у = sin 5 x; б) у = 5 х ² - 7 х + 3.

 

Задание 88. Найти приближенное значение выражений:

 

а) ; б ) ; в )

 

Задание 89. Найти приближенно значение выражений:

 

а) cos 61⁰; б) ln 1,04; в) tg 46⁰; г ) e ^-0,04.

Правило Лопиталя

Задание 90. Вычислить пределы по правилу Лопиталя:

 

1. ; ;
2. ; ;
3. ; ;
4. ; ;
5. ; ;
6. ; ;
7. ; ;
8. ; ;
9. ; ;
10. ; ;
11. ; ;
12. ; ;
13. ; ;
14. ; ;
15. ; ;
16. ; ;
17. ; ;
18. ; ;
19. ; ;
20. ; ;
21. ; ;
22. ; ;
23. ; ;
24. ;
25. ; .
26. ; .
27. ; ;
28. ; ;
29. ; ;
30. ; .

Исследование функций и построение графиков

Задание 91. На каком из рисунков

 

1) 2) 3) 4)

 

изображен график функции, удовлетворяющей на отрезке [ a;b ] одновременно двум условиям: у меняет знак, ?

Задание 92. Укажите вид графика функции, для которой на всем отрезке [ a;b ] одновременно выполняются три условия: у>0, <0, >0:

1) 2) 3) 4)

Задание 93. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции

Задание 94. Найти точки перегиба графика функции

Задание 95. Найти асимптоты графиков функций:

а) ; б) у = .

 

Задание 96. Функция y=f(x) задана на отрезке . Укажите количество точек экстремума функции, если график её производной имеет вид

Задание 97. На рисунке изображен график производной функции y=f(x), заданной на отрезке .

Определить точку максимума этой функции.

Задание 98. Дан график производной непрерывной функции, заданной на отрезке :

В какой точке эта функция принимает наименьшее значение?

Задание 99. Исследовать функции и построить их графики:

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

21. . 22. .

23. . 24. .

25. . 26. .

27. . 28. .

29. . 30. .

Задание 100. Найтинаименьшее значение функции f (х) на отрезке .