Системы линейных уравнений. Задание 18. Записать систему линейных уравнений

Задание 18. Записать систему линейных уравнений

в матричной форме и вычислить главный определитель системы.

Задание 19. Решить систему уравнений методом Крамера и матричным методом:

а) б)

Задание 20. Пусть (х₀,y₀) – решение системы линейных уравнений

Найти разность х₀-y_0.

Задание 21. При каком значении а система

имеет ненулевое решение?

Задание 22. Решить систему уравнений: а) методом Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса; г) методом Жордана-Гаусса.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

Задание 23. Предприятие выпускает три вида продукции с использованием трёх типов сырья. Характеристики производства указаны в таблице:

Тип сырья	Расход сырья по видам продукции, кг/изд.	Запасы сырья, кг.

I. II. III.

Найти объём выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.

Векторы

Задание 24. Даны векторы и . Найти длины этих векторов, их сумму, разность, скалярное и векторное произведения.

Задание 25. Найти значение k, при котором векторы и будут коллинеарными; перпендикулярными.

Задание 26. При каких значениях α и β векторное произведение векторов и равно нулю?

Задание 27. Векторы и изображены на рисунке.

Найти их скалярное произведение.

Задание 28. Даны векторы , , и .

Какие векторы образуют базис в пространстве?

Задание 29. Набор из пяти товаров характеризуется вектором количества товаров и вектором цен . Определить стоимость набора.

Задание 30. Найти угол между векторами и , если и .

Задание 31. Даны координаты вершин пирамиды АВСД. Найти: а) длины ребер пирамиды; б) угол между ребрами АВ и АС; в) площадь грани АВС; г) объем пирамиды.

Сделать чертеж.

1. А(1;0;1), В(-1;5;0), С(2; 6; 0), Д(0;0;7).

2. А(0;0;1), В (-2;5;0 ), С (1;6;0), Д (-1;0;7).

3. А (1;0;2), В (-1;5;1), С(2;6;1), Д (0;0;8).

4. А (1;0;1), В(-1;5;0), С(1;3;0), Д (0;0;7).

5. А (1;-1;1), В (-1;4;0), С(1;2;0), Д (0;-1;7).

6. А (2;0;1 ), В (0;5;0), С (2;3;0), Д(1;0;7).

7. А (1;0;1), В (-1;6;0), С (2;6;0), Д (0;0;7).

8. А (1;0;3), В (-1;6;2), С (2;6;2), Д(0;0;9).

9. А (-1;0;1), В(-3;6;0), С (0;6;0), Д (-2;0;7).

10. А (1;0;1), В(-1;5;0), С (1;5;0), Д(0;0;7).

11. А (1;0;-1), В (-1;5;-2), С (1;5;-2), Д (0;0;5).

12. А (3;0;1), В(1;5;0), С(3;5;0), Д(2;0;7).

13. А(1;0;1), В(-1;5;1), С(2;6;0), Д(0;0;7).

14. А(1;-3;1), В(-1;2;1), С(2;3;0), Д(0;-3;7).

15. А(3;0;1), В(1;5;1), С(4;6;0), Д(2;0;7).

16. А(4;0;1), В(2;5;0), С(5;6;0), Д(3;0;9).

17. А(1;0;1), В(-1;5;0), С(2;6;0), Д(1;1;7).

18. А(3;0;1), В(1;5;0), С(4;6;0), Д(1;1;7).

19. А(1;0;0), В(-1;5;1), С(2;6;0), Д(0;0;4).

20. А(1;0;1), В(-1;5;2), С(2;6;1), Д(0;0;5).

21. А(1;1;1), В(-1;6;2), С(2;7;1), Д(0;1;5).

22. А(1;1;1), В(-1;6;2), С(2;7;1), Д(0;1;6).

23. А(0;0;0), В(1;4;1), С (-1;4;1), Д(0;0;4).

24. А(-1;0;0), В(0;4;1), С(-2;4;1), Д(-1;0;4).

25. А(-1;0;1), В(0;4;2), С(-2;4;2), Д(-1;0;5).

26. А(1;2;-3), В(1;2;5), С(-3;-1;2), Д(1;-1;0).

27. А(3;-2;1), В(1;4;0), С(5;2;7), Д(1;1;-1).

28. А(0;0;1), В(3;1;-1), С(-5;4;1), Д(2;0;1).

29. А(1;2;4), В(0;0;2), С(1;4;-1), Д(2;1;3).

30. А(2;0;1), В(1;2;3), С(1;0;1), Д(2;-2;3).

Задание 32. Предприятие выпускает продукцию пяти видов, объёмы выпуска которой за январь выражаются вектором (тыс. шт.). Прибыль от продажи продукции каждого вида задана вектором =(р ₁, р ₂, р ₃, р ₄, р ₅) (руб.). В феврале предприятие выпустило продукции в полтора раза больше по всем показателям, а в марте в два раза больше по сравнению с январём. Найти объем выпущенной продукции за 1-й квартал и общую прибыль предприятия.

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .

11. , .

12. , .

13. , .

14. , .

15. , .

16. , .

17. , .

18. , .

19. , .

20. , .

21. , .

22. , .

23. , .

24. , .

25. , .

26. , .

27. , .

28. , .

29. , .

30. , .

1.4. Собственные значения и собственные векторы матриц

Задание 33. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А:

а) ; б)

Задание 34. Вектор является собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному значению Найти произведение .

Задание 35. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей:

1. ; 2. ; 3.

4. 5. 6.

7. ; 8. 9.

10. ; 11. ; 12. .

13. ; 14. ; 15. ;

16. ; 17. ; 18. ;

19. ; 20. ; 21. ;

22. ; 23. ; 24. ;

25. ; 26. ; 27. ;

28. ; 29. ; 30. .

1.5. Квадратичные формы

Задание 36. Записать матрицуквадратичной формы двух переменных F = х ²- 8 ху + 5 у ².

Задание 37. Найти квадратичную форму, соответствующую матрице .

Задание 38. Квадратичная форма F = а х ²+ в ху + с у ²является:

а) знаконеопределенной;

б) отрицательно определенной;

в) положительно определенной;

г) неотрицательно определенной?

1. а = 5, в = 8, с = 5;

2. а = 1, в = 10, с = 1;

3. а = -2, в = 6, с = 4;

4. а = 4, в =1, с = -3;

5. а = -5, в = -10, с = 6;

6. а = 2, в = 2, с = 4;

7. а = 1, в = -2, с = 1;

8. а = 3, в = 1, с = 1;

9. а = 2, в = -2, с = 4;

10. а = -4, в = 12, с = 3;

11. а = 1, в = 4, с = 4;

12. а = 5, в = -2, с = 3;

13. а = 3, в = 4, с = 2;

14. а =-7, в = -4, с = 4;

15. а = 6, в = 10, с = 6;

16. а = 5, в = 2, с = 1;

17. а = -1, в = 6, с = -2;

18. а = 4, в = 8, с = 1;

19. а = -2, в = -6, с = 3;

20. а = 1, в = -4, с = 7;

21. а = 1, в = 2, с = 5;

22. а = 1, в = -2, с = -4;

23. а = 3, в = -4, с = 2;

24. а = 2, в = -2, с = 1;

25. а = -1, в = 6, с = 2;

26. а = -5, в = 8, с =3;

27. а = 4, в = 4, с =1;

28. а = 3, в = -4, с = -1;

29. а = 2, в = 2, с = 8;

30. а = -1, в = -6, с = 3;

1.6. Прямая и плоскость

Задание 39. Даны точки А (1;4) и В (3;-2). Найти координаты середины отрезка АВ.

Задание 40. Даны точки А (0; 1) и В (6; 3). Найти абсциссу середины отрезка АВ.

Задание 41. Найти расстояние между точками A(5; 1) и B(1; 4).

Задание 42. При каком значении k расстояние между точками A(1, 2) и B(k, –2) равно 5?

Задание 43. Найти угловой коэффициент прямой 6x+3y–7=0.

Задание 44. Найти градусную меру угла между прямой

и положительным направлением оси О х.

Задание 45. Найти длину отрезка, отсекаемого прямой 2x+18y–9=0 на оси Оу.

Задание 46. Какие из прямых будут параллельными?

Задание 47. Даны вершины треугольника АВС. Найти: 1) уравнения сторон; 2) уравнение медианы ВМ; 3) уравнение и длину высоты CD; 4) углы в треугольнике. Сделать чертеж.

1. А (1;-1), В (4;3), С (9; 5).

2. А (-1;-1), В (-4;3), С (-9; 5).

3. А (1;1), В (4;-3), С (9;-5).

4. А (-1;-1), В (-4;-3), С (-9;-5).

5. А (2;0), В (5; 4), С (10; 6).

6. А (-2;0), В (-5; 4), С (-10; 6).

7. А (2; 0), В (5; -4), С (10; -6).

8. А (-2;0), В (-5;-4), С (-10,-6).

9. А (2;-1), В (5;3), С (10; 5).

10. А (-2;-1), В (-5; 3), С (-10; 5).

11. А (2;1), В (5;-3), С (10;-5).

12. А (-2;1), В (-5; -3), С (-10;-5)

13. А (1;-2), В (4; 2), С (9; 4).

14. А (-1;-2), В (-4; 2), С (-9; 4).

15. А (1;2), В (4;-2), С (9;-4).

16. А (-1;2), В (-4;-2), С (-9;-4).

17. А (-2;0) В (1;-4), С (6; 6).

18. А (1;0), В (2;-4), С (7; 6).

19. А (-1;0), В (-2;-4), С (-7; 6).

20. А (1;0), В (2; 4), С (7;-6).

21. А (-1;0), В (-2;-4), С (-7;-6).

22. А (-2;1), В (1;3), С (6; 7).

23. А (-2;-1), В (1;3), С (6;-7).

24. А (2;1), В (-1;-3), С (-6; 7).

25. А (2;-1), В (-1;3), С (-6;-7).

26. А (-2;2), В (6;-2), С (2;4).

27. А (-2;3), В (6;-1), С (2;5).

28. А (-1;2), В (7;-2), С (3;4).

29. А (2;-2), В (-6;2), С (-2;-4).

30. А (3;-2), В (-1;6), С (5;2).

Задание 48. Найти координаты нормального вектора плоскости .

Задание 49. Найти координату x₀ точки А(х₀; 2; 3), если эта точка принадлежит плоскости 3x+y–2z–2=0.

Задание 50. Если точка Р (-1; 2; 3) принадлежит плоскости , то чему равен коэффициент С?

Задание 51. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно плоскости .

Задание 52. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(1;1;–1) перпендикулярно плоскости x+y-7z-11=0.

Задание 53. Даны точки М₀, М₁, М₂, М₃. Найти:

а) уравнение плоскости, проходящей через точки М₁, М₂, М₃;

б) расстояние от точки М₀ до этой плоскости;

в) угол между плоскостями М₁М₂М₃ и М₀М₁М_2.

1. М₀ (4;0;1), М₁ (2;5;0), М₂ (5;6;0), М₃ (3;0;9).

2. М₀ (1;0;1), М₁ (-1;5;0), М₂ (2;6;0), М₃ (1;1;7).

3. М₀ (3;0;1), М ₁(1;5;0), М₂ (4;6;0), М₃ (1;1;7).

4. М₀ (1;0;0), М₁ (-1;5;1), М₂ (2;6;0), М₃ (0;0;4).

5. М₀ (1;0;1), М₁ (-1;5;2), М₂ (2;6;1), М₃ (0;0;5).

6. М₀ (1;1;1), М₁ (-1;6;2), М₂ (2;7;1), М₃ (0;1;5).

7. М₀ (1;1;1), М₁ (-1;6;2), М₂ (2;7;1), М₃ (0;1;6).

8. М₀ (0;0;0), М₁ (1;4;1), М₂ (-1;4;1), М₃ (0;0;4).

9. М₀ (-1;0;0), М₁ (0;4;1), М₂ (-2;4;1), М₃ (-1;0;4).

10. М₀ (-1;0;1), М₁ (0;4;2), М₂ (-2;4;2), М₃ (-1;0;5).

11. М₀ (1;2;-3), М₁ (1;2;5), М₂ (-3;-1;2), М₃ (1;-1;0).

12. М₀ (3;-2;1), М₁ (1;4;0), М₂ (5;2;7), М₃ (1;1;-1).

13. М₀ (0;0;1), М₁ (3;1;-1), М₂ (-5;4;1), М₃ (2;0;1).

14. М₀ (1;2;4), М₁ (0;0;2), М₂ (1;4;-1), М₃ (2;1;3).

15. М₀ (2;0;1), М₁ (1;2;3), М₂ (1;0;1), М₃ (2;-2;3).

16. М₀ (1;0;1), М₁ (-1;5;0), М₂ (2; 6; 0), М₃ (0;0;7).

17. М₀ (0;0;1), М₁ (-2;5;0 ), М₂ (1;6;0), М₃ (-1;0;7).

18. М₀ (1;0;2), М₁ (-1;5;1), М₂ (2;6;1), М₃ (0;0;8).

19. М₀ (1;0;1), М ₁ (-1;5;0), М₂ (1;3;0), М₃ (0;0;7).

20. М₀ (1;-1;1), М₁ (-1;4;0), М₂ (1;2;0), М₃ (0;-1;7).

21. М₀ (2;0;1 ), М₁ (0;5;0), М₂ (2;3;0), М₃ (1;0;7).

22. М₀ (1;0;1), М₁ (-1;6;0), М₂ (2;6;0), М₃ (0;0;7).

23. М₀ (1;0;3), М ₁ (-1;6;2), М₂ (2;6;2), М₃ (0;0;9).

24. М₀ (-1;0;1), М₁ (-3;6;0), М₂ (0;6;0), М₃ (-2;0;7).

25. М₀ (1;0;1), М ₁ (-1;5;0), М₂ (1;5;0), М₃ (0;0;7).

26. М₀ (1;0;-1), М₁ (-1;5;-2), М₂ (1;5;-2), М₃ (0;0;5).

27. М₀ (3;0;1), М₁ (1;5;0), М₂ (3;5;0), М₃ (2;0;7).

28. М₀ (1;0;1), М₁ (-1;5;1), М₂ (2;6;0), М₃ (0;0;7).

29. М₀ (1;-3;1), М₁ (-1;2;1), М₂ (2;3;0), М₃ (0;-3;7).

30. М₀ (3;0;1), М₁ (1;5;1), М₂ (4;6;0), М₃ (2;0;7).

Задание 54. При каком значении k расстояние между точками А (1;-1) и В (4; k) равно 5?

Задание 55. Издержки производства 100 шт. некоторого товара составляют 300 руб., а 500 шт. – 600 руб. Определить издержки производства 400 шт. товара при условии, что функция издержек линейная.

Задание 56. Прибыль от продажи 50 шт. некоторого товара составляет 50 руб., а 100 шт. – 200 руб. Определить прибыль от продажи 500 шт. товара при условии, что функция прибыли линейная.

Задание 57. Прибыль от продажи некоторого товара в двух магазинах выражается функциями и , где - количество товара в сотнях штук, а - прибыль в тысячах рублей. Определить, начиная с какого количества товара, более выгодной становится его продажа во втором магазине.