Следующие интегралы ( L – пробегаемый

в положительном направлении контур):

4.1 ; L: треугольник ABC, где

A(1;3), B(2;4), C(2;3)

 

4.2 L: треугольник ABC, где

A(0;0), B(1;1), C(1;0)

4.3 ; L: треугольник OAB, где

O(0;0), A(0;1), B(1;1)

4.4 ; L: x + y = R

 

4.5 ; L: + = 1

4.6 ; L: треугольник с

вершинами A(1;1), B(2;2), C(1; 3)

4.7 ; L: треугольник ABC,

где A(1;2), B(-1;3), C(0;4)

4.8 ; L: (x –1) + (y - 1) = 1

4.9 ; L: x + y =25

4.10 ; L: x + y = R

 

 

Комплект 2

Задание 1. Вычислить криволинейный интеграл

Первого рода от функции f(x,y) по

Длине дуги L, заданной уравнениями

y = (x), a x b

1.1 ; L: контур параллелограмма с

вершинами A(0,1), B(3,0),

C(3,2), D(0,2)

1.2 ; L: окружность x + y + z = a

x + y + z = 0

1.3 ; L: контур треугольника с

вершинами A(0,0), B(1,0), C(0,1)

1.4 ; L: x + y = a , x 0, y 0

1.5 ; L: дуга x + y = x - y ; x 0, y 0

1.6 ; L: часть винтовой линии

x = a cos t, y = a sin t, z = bt, 0 t 2

1.7 ; L: (x + y ) = xy

1.8 ; L: контур треугольника с

вершинами A(0,1), B(2,0), C(0,2)

1.9 ; L: x + y = a , x 0, y 0

1.10 ; L: дуга кривой x + y = z , y = ax

 

 

Задание 2. Вычислить криволинейный интеграл

Первого рода от функции f (x,y) по длине

Дуги L, заданной параметрическими

уравнениями:

2.1 f (x,y) = y ; L: x = a cos t, y = a sin t, 0 t

2.2 f (x,y) = xy; L: x = a cos t, y = b sin t, 0 t

2.3 f (x, y) = y ; L: x = a(t–sin t), y = a(1-cos t),

0 t

2.4 f(x, y) = ; L: x = a(cos t + t sin t),

y = a(sin t – t cost), 0 t 2

2.5 f(x,y) = 3x -y ; L: x = a(cos t + t sin t),

y = a(sin t – t cost), 0 t 2

2.6 f(x, y) = x ; L: x = a(t – t sin t),

y = a(1 – cos t), 0 t 2

2.7 f(x,y) = xy L: x = ch t, y = ash t, 0 t t

2.8 f(x,y) = ; L: x = a(t - t sin t),

y = a(1-cos t), 0 t

2.9 f(x,y) = x + y ; L: x = a cos t, y = a sin t,

0 t 2

2.10 f(x,y) = + ; L: x = a cos t, y = a sin t,

0 t 2

 

 

Задание 3. Вычислить криволинейные интегралы

Второго рода от

Заданных функций по данным линиям в

Указанных направлениях.

3.1 P = x , Q = -yz, R = z; L: отрезок прямой от

точки А(1;2;-1) до точки B(3;3;2)

3.2 P = yz, Q = xz, R = xy; L: дуга кривой x = t,

y = t ; z = t ; 0 t 1

3.3 P = z , Q = x + y + z,R = x +y ; L: отрезок прямой

от точки A(2;1;0) до точки B(4;3;1)

3.4 P = x , Q = y, R = z; L: дуга кривой x = t,

y = t , z = t , 0 z 1

3.5 P = z , Q = yz, R = x – y; L: отрезок прямой от

точки A(1;0;2), до точки B(2;-1;0)

3.6 P = x + z, Q = y + z, R = x + y; L: дуга кривой x = t ,

y = t , z = t , 0 t 1

3.7 P = x, Q = y, R = x + y; L: отрезок прямой от

точки A(0;1;1), до точки B(2;4;6)

3.8 P = x + z, Q = x , R = xy; L: дуга кривой x = sin t

y = sin t, z = sin t, 0 z

3.9 P = z, Q = xy, R = x + y ; L: дуга кривой

x = a cos t, y = a sin t, z = bt, 0 t

3.10 P = 2yz, Q = y - z , R = -x ; L: кривая x = t,

y = t , z = t , 0 t 1

 

 

Задание 4. Проверить, является ли заданное

Выражение полным дифференциалом

Некоторой функци U(x,y) и в случае

Положительного ответа найти U с

Помощью криволинейного интеграла.

4.1 (10xy +12x + 6)dx + (15x y- 5)ydy

4.2 (cos x cos y + 6x +3)dx + (18y - sin x sin y)dy

1. (2cos 2x cos 3y - )dx + ( - 2sin 2x sin 3y)dy

2. (e - )dx + (sin 3y - )dy

3. (xye + cos 2x + x )dx + ( + y)dy

4. ( - 1)dx + ( - 10)dy

5. (arcsin x – x ln y)dx – (arcsin y + )dy

6. (2x – 3xy +2y)dx + (2x – 3x y + 2y)dy

7. (x - 2xy + 3)dx + (y - 2x y + 3)dy

4.10 (y + ln(x + 1))dx + (x + 1 - e )dy

 

 

Комплект 3.

Задание 1. Вычислить криволинейный интеграл

Первого рода от функции f(x,y,z) по длине

дуги пространственной кривой L:

4.7 f(x,y,z) = x + y + z; L: x = cos t, y = sin t, z = t,

0 t

4.8 f(x,y,z) = x + y; L: x = t, y = t, z = ,

0 t

4.9 f(x,y,z) = z; L: x = t cos t, y = t sin t, z = t,

0 t t

4.10 f(x,y,z) = z; L: x = t, y = , z = ,

от точки 0 (0,0,0) до точки B(, , )

4.11 f(x,y,z) = x + z; L: x = t, y = , z = t ,

0 t 1

4.12 f(x,y,z) = ; L: x = a cos t, y = a sin t,

z = bt, 0 t 2

4.13 f(x,y,z) = z - ; L: x = a cos t, y = a sin t,

z = bt, 0 t 2

4.14 f(x,y,z) = ; L: x = t, y = , z = ,

0 t 1

4.15 f(x,y,x) = ax; L: x = a cos t, y = a sin t,

z = , 0 t 2

4.16 f(x,y,z) = x + y + z ; L: x = cos t, y = sin t, z = t

0 t 2

 

Задание 2. Используя формулу Грина вычислить

Следующие интегралы (L – пробегаемый в

Положительном направлении контур).

2.1 L: x + y = ax

1.6 ;

L: x + y = R

2.3 ; L: (x – 1) + (y - 1) = 1

2.4 ; L: + = 1

2.5 L: замкнутый

контур, составленный из линии y = sin x, y = 0,

0 x

2.6 ;

L: x + y = ax

2.7 ; L:x + y = R

2.8 ; L: x + y = R

y = 0, y 0

a. ;

L: + = 1

b. ;

L: x = a cos t, y = b sin t

Задание 3. Найти работу, производимую силой

= P(x,y) + Q(x,y) вдоль указанного

пути L:

3.1 = { x , xy }; L: отрезок прямой от точки

A(0;1) до точки B(1;2)

3.2 = { x + y, x + y }; L: ломанная ABC, где

A(1;1), B(3;1), C(3;5)

3.3 = { x , }; L: дуга xy = 1, от точки

A(1;1) до точки B(4; )

3.4 = { y, x }; L: дуга астроиды x = a cos t,

y = asin t от точки M (t ) до

точки M (t ), где t = 0, t =

3.5 = { x –y, 2x + y }; L: треугольник с вершинами

A(1;1), B(3;3), C(3;-1)

3.6 = { x , x }; L: дуга y = x от точки

A (1;1) до точки B(3;9)

3.7 = { cos x, y}; L: дуга y = sin x, 0 x

3.8 = { cos x, }; L: дуга y = tg x, x

3.9 = { x + y, y – x }; L: эллипс 5x - 6xy + 5y = 6

3.10 = { - x, -y }; L: эллипс x = a cos t, y = b sin t

0 t 2

 

 

Задание 4. Вычислить криволинейные интегралы от

Полных дифференциалов.

4.1

4.2

2.7

4.4

4.5

4.6 dx + 2x yz dy + 3x y z dz

4.7

4.8

4.9

4.10 вдоль путей не проходящих через начало координат.

 

Расчетное задание 3

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Комплект 1.

Задание 1. Вычислить поверхностные интегралы

Первого рода по

указанным поверхностям:

1.1 П: плоскость x + 2y +3z = 6, лежащая в октанте f(x,y,z) = 6x + 4y + 3z

1.2 П: y = , отсеченная плоскостями x = 0,

x = a; f(x,y, z) = x + 3y + z + 5

1.3 П: часть плоскости x + y + z =a, лежащая в октанте f(x,y,z) = 1

1.4 П: z = ,отсеченная плоскостями y = 0, y = 5 f(x,y,z) =

1.5 П: часть плоскости 6x + 4y + 3z = 12, лежащая в

октанте, f(x,y,z) = z + 2x +

1.6 П: z = , отсеченная плоскостью z =3;

f(x,y,z) = xyz

1.7 П: часть плоскости x + y + z =1, лежащая в

октанте, f(x,y,z) = 2x + y -

1.8 П: граница тела z 1; f(x,y,z) =x + y

1.9 П: часть плоскости + + = 1, лежащая в октанте f(x,y,z) = x + y + z

1.10П: часть плоскости 6x + 4y + 3z = 12, лежащая в

октанте f(x,y,z) = z + 2x +

 

Задание 2. Вычислить поверхностные интегралы

Второго рода

 

2.1 по верхней стороне

части плоскости 2x + 3y + z = 6 лежащей в октанте

2.2 по положительной

стороне куба, составленного плоскостями x = 0,

y = 0, z = 0, x =1, y =1, z =1

1.7 по внешней стороне

поверхности, составленной плоскостями x = 0, y =0

z = 0, x + y + z = 1

1.8 по внешней

поверхности, расположенной в октанте и

составленной из плоскостей x = 0, y =0, z =0, z = h

и цилиндра x + y =R

1.9 по верхней стороне части

поверхности z = , отсеченной плоскостями

y = 0, y =2

1.10 по положительной

стороне куба, составленного плоскостями x = 0,

y = 0, z = 0, x =1, y =1, z =1

1.11 по внутренней стороне

части поверхности x = 4y, отсеченной

плоскостями y = 4, z = 0, z = 3

1.12 по положительной

стороне куба, образованного плоскостями x =0,

y = 0, z = 0, x =3, y = 3, z = 3

1.13 по верхней стороне части плоскости

x + y + z = a, лежащей в октанте

4.7 по верхней стороне

треугольника, образованного пересечением

плоскости x + y + z =1 c координатными

плоскостями

 

Задание 3. Найти площадь поверхности

 

3.1 Конусa z = 2xy, расположенного в октанте между

плоскостями x = 2, y =4

3.2 Конической поверхности z = ,

расположенной в октанте и ограниченной

плоскостями x = 0, y =0, x + y =2

3.3 Сферы x + y + z = R , расположенной внутри

цилиндра x + y = Rx

3.4 Цилиндра x + y = Rx, расположенного внутри

сферы x + y + z = R

2.7 2x + 2y + z = 8a, заключенной между плоскостями

y + z =0, z = 0

2.8 Цилиндра x + y = R между плоскостями z = 0,

y + z = 0

2.9 Цилиндра z + y = R , заключенного внутри цилиндра x + y = R

2.10 Параболоида x + y = 6z, заключенного внутри цилиндра x + y = 27

3.9 Сферы x + y + z = 3a, заключенной внутри

параболоида x + y = 2az

3.10 Части поверхности z = 2 – ,

расположенной над плоскостью XOY

 

Комплект 2.

Задание 1. Вычислить поверхностные интегралы

Первого рода по

Указанным поверхностям

1.1 П: полусфера z = ; f(x,y,z) = x

1.2 П: поверхность параболоида вращения

z = (x + y ), ограниченная плоскостями z =0,

z = 2; f(x,y,z) = x + y

1.3 П: коническая поверхность z = x + y ,

ограниченная плоскостями z = 0, z = 1,

f(x,y,z) = x + y

1.6 П: поверхность параболоида вращения

z = 1- x - y , ограниченная плоскостями z =0,

z =1; f(x,y,z) =

1.7 П: часть поверхности конуса x + y = z ,

0 z 1; f(x,y,z)=

1.8 П: часть поверхности z = , отсеченная плоскостями z = 0, z =1; f(x,y,z) = 3x + 3y + 5z

1.9 П: часть плоскости x + y + z = 4, вырезанная

цилиндром x + z = 4; f(x,y,z) = x + y + 2x z + z

1.10 П: полусфера z = ;

f(x,y,z) = x + y + z

1.11 П: часть поверхности y = , отсеченная плоскостями x = 0, x = a; f(x,y,z) = y(x + z)

1.12 П: полусфера z = ; f(x,y,z) = x

 

 

Задание 2. Вычислить поверхностные

Интегралы второго рода.

1.6 по нижней стороне круга

x + y R

1.7 по нижней стороне части конуса x + y = z , 0 z 1

1.8 по нижней стороне круга

x + y = R

1.9 по верхней стороне цилиндрической поверхности z = 1 - x , 0 y 1

1.10 по внешней стороне части поверхности y = отсеченной плоскостями y =0, y =1

1.11 по верхней стороне

z = 1 - - , отсеченной плоскостью z = 0

1.12 по внешней стороне

x = , отсеченной плоскостями z = 0, z = 2

1.13 по внешней части параболоида

x = a - y - z , отсеченной плоскостью YOZ

2.9 по внутренней стороне

части поверхности x = , отсеченной

плоскостями x = 0, x = a

2.10 по внешней стороне части

нижней половины эллипсоида

 

Задание 3. Найти массу поверхности по указанной

плотности

 

1. z = , отсеченной плоскостями z = 0, z =1

2. z = , отсеченной плоскостями y = 0, y = 2;

3. 2z = 2 - x - y , отсеченной плоскостью XOY;

4. y = , вырезанный цилиндром

x + y = 2x;

5. x = , отсеченной плоскостями x = 0,

x = 2;

6. x + y + z = a (a > 0), вырезанный цилиндром

x + y = R ,

3.7 y = ,

3.8 x = ,

3.9 2az = x - y , вырезанную цилиндром x + y = a ;

, k > 0

3.10 0 x 1; 0 y 1; 0 z 1;

 

Комплект 3.

Задание 1. Вычислить поверхностные интегралы

Первого рода по

Указанным поверхностям

1.1 П: часть поверхности 2z = , отсеченная

плоскостью z = 0; f(x,y,z) = x + y + z – 2

1.2 П: часть поверхности x + z = 2az, вырезанная

z = ; f(x,y,z) = z

1.3 П: поверхность сферы x + y = 9 - z ,

f(x,y,z) = x + y + z

1.4 П: часть конической поверхности z = ,

вырезанная x + y = 2ax; f(x,y,z) = xy + yz + zx

1.5 П: сфера x + y + z = 1; f(x,y,z) = x + y + z

1.6 П: часть конической поверхности z = ,

вырезанная цилиндром x + y = 8x;

f(x,y,z) = xy + yz + zx

1.7 П: часть сферы x + y + z = a, лежащая в

октанте; f(x,y,z) = x + y + z

1.8 П: поверхность, отсекаемая от верхней части конуса

z = цилиндром x + y = 4x;

f(x,y,z) = zy + xy + xz

1.9 П: полусфера z = ;

f(x,y,z) =

1.10 П: поверхность, отсекаемая от верхней части

конуса z = k цилиндром x + y - 2ax = 0

f(x,y,z) = y z + z x + x y

 

Задание 2. Вычислить поверхностные интегралы

второго рода:

2.1 , по внешней стороне полусферы

x + y + z = R , z = 0

2.2 , по внешней стороне сферы

x + y + z = a

2.3 , по внешней стороне части поверхности

параболоида z = , x 0, y 0, z H

2.4 dydz, по внутренней стороне

части полусферы x =