Тестовые задания для самостоятельной работы

1. Задание: Вычислить интеграл по поверхности , где S – часть конической поверхности z²= x² + y², заключенной между плоскостями z = 0 и z = 1.

Ответы: 1) ;2) ;3) 4) ; 5) .

2. Задание: Найти момент инерции полусферы относительно оси Oz.

Ответы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

3. Задание: Вычислить координаты центра тяжести части плоскости z = x, ограниченной плоскостями x + y = 1, y =0, x = 0.

Ответы:1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

4. Задание: Найти массу поверхности сферы и статический момент М_xy верхней полусферы, если поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию этой точки от вертикального диаметра.

Ответы:1) 2) 3) 4) 5)

5. Задание: , где σ – часть плоскости x+2y+3z = 6, расположенная в первом октанте.

Ответы:1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

^6.Задание: , где σ–нижняя сторона круга x²+y² a²

Ответы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

7. Задание: Вычислить , где σ – часть плоскости x + y + z = 1, заключенной в первом октанте.

Ответы:1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

8. Задание: По формуле Остраградского – Гаусса вычислить поверхностный интеграл 4x³dydz + 4y³dxdz + 6z⁴dxdy, где σ – полная поверхность цилиндра.

Ответы:1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

9. Задание: Найти площадь части поверхности параболоида вращения 2z=x²+y, заключенного внутри цилиндра x²+y²=R².

Ответы: 1) ((1+R²)^3/2 -1); 2) ((1-R²)^3/2+1); 3) ((1-R)^3/2 -1); 4) (1+R²)^1/2;5) ((1+R²)^5/2 -1).

10. Задание: Вычислить xdydz + dxdz + xz²dxdy, где S – внешняя сторона части сферы x² + y² + z² = 1, заключенной в первом октанте.

Ответы:1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

11. Задание: Вычислить интеграл по верхней половине сферы x² + y² + z² = R².

Ответы:1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

12. Задание: Найти площадь части поверхности: сферы x² + y² + z² = R², расположенной внутри цилиндра x²+y²=Rx.

Ответы: 1) ; 2); ; 3) ; 4) ; 5) .

Ответы к тестам:

Номер задания

Номер ответа

Расчётные задания 1

Кратные интегралы

Комплект 1.

Задание 1.

Изменить порядок интегрирования. Область интегрирования изобразить на чертеже.

1.1. 1.2.

1.3. 1.4.

1.5. 1.6.

1.7. 1.8.

1.9. 1.10.

Задание 2.

Вычислить:

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

2.7. 2.8.

2.9. 2.10.

Задание 3.

Вычислить двойной интеграл в полярных координатах от функции z =f(x, y) по области D:

3.1. , D:

3.2. , D:

3.3. , D:

3.4. , D:

3.5. , D:

3.6. , D:

3.7. , D:

3.8. , D:

3.9. , D:

3.10. , D:

Задание 4.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

4.1. , , , .

4.2. , , , .

4.3. , , .

4.4. , , (), .

4.5. , .

4.6. , , .

4.7. , , , .

4.8. , .

4.9. , , .

4.10. , .

Задание 5.

Найти объём тела, ограниченного поверхностями, с помощью двойного интеграла:

5.1. , , , , .

5.2. , , , , .

5.3. , , , , .

5.4. , , .

5.5. , , , .

5.6. , , , .

5.7. , , , , .

5.8. , , , .

5.9. , , , .

5.10. , , , .

Задание 6.

Найти координаты центра масс однородной пластинки плотности , ограниченной линиями:

6.1. , , .

6.2. , , .

6.3. , .

6.4. , .

6.5. , .

6.6. , , , .

6.7. , , .

6.8. , .

6.9. , , , .

6.10. , , , .

Задание 7.

Вычислить:

7.1.

7.2.

7.3.

7.4.

7.5.

7.6.

7.7.

7.8.

7.9.

7.10.

Задание 8.

Вычислить объём тела, ограниченного указанными поверхностями, с помощью двойного интеграла. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость XOY:

8.1. , , .