Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле 3 страница

Это приближённое равенство будет тем точнее, чем мельче разбиение тела на части, и в пределе, когда длина диаметров всех частей стремится к нулю, получим точное равенство:

Т.к. мы имеем здесь предел интегральной суммы, составленной для непрерывной функции d(x,y,z) в области V, то указанный предел существует и равен соответствующему тройному интегралу:

2.2 Определение тройного интеграла

Тройной интеграл является полным аналогом двойного интеграла и строится для функции от трёх переменных в трёхмерном пространстве.

Пусть в некоторой замкнутой пространственной области V (с объёмом n) определена непрерывная функция трёх переменных f(x,y,z).

Разобьём область V произвольным образом на n частей (без общих внутренних точек) с объёмами Dn_i (i = 1,2,...,n).Выбрав в каждой из частей по точке (x_i, h_i, V_i), вычислим значения f(x_i, h_i, V_i) данной функции в этих точках и составим сумму

интегральная сумма функции f(x,y,z) по области V.

Определение.

Если интегральная сумма s стремятся к некоторому пределу, когда диаметры всех частичных областей V_i стремится к нулю, то этот предел и называется тройным интегралом от функции f(x,y,z) по области V и обозначается символом òòò_V f (x,y,z)dn.

В прямоугольных координатах элемент объёма dn обычно записывают в виде

dn = dx dy dz.

Следовательно, по определению

Функция f(x,y,z) называется в этом случае интегрируемой в области V.

Область V называется при этом областью интегрирования для f(x,y,z).

2.3 Свойства тройного интеграла

1. Тройной интеграл от алгебраической суммы функции по области V равен алгебраической сумме интегралов, слагаемых по той же области:

для 2-х функций

Доказательство.

Исходя из определения тройного интеграла как предела интегральной суммы.

2.Постоянный множитель можно выносить за знак тройного интеграла:

...

Доказательство.

Аналогично предыдущему доказательству.

3.Если область V разбить на две области V₁ и V₂ плоскостью, параллельной какой – либо из координат плоскостей, то

Доказательство.

Аналогично доказательству соответствующего свойства в двойном интеграле.

4.Если во всех точках области V для функций f(x,y,z) и j(x,y,z) выполняется неравенство f(x,y,z) £ j(x,y,z), то

т.е. неравенство можно почленно интегрировать.

5.Если во всех точках области V функция f(x,y,z) удовлетворяет неравенствам m £ f(x,y,z) £ M, то

где n - объём области V.

6.Теорема о среднем:

где Р – некоторая точка области V.

2.4 Вычисление тройного интеграла

Вычисление тройного интеграла также может быть осуществлено сведением к повторным интегралам, а именно путём трёх последовательных простых интегрирований.

1.Пусть вначале областью интегрирования V служит параллелепипед, заданный неравенствами:

а £ x £ b; c £ y £ d, e £ z £ h (очевидно, он проектируется на плоскость х Оу в прямоугольник D: а £ x £ b; c £ y £ d).

Тогда, если функция f(x,y,z) непрерывна в данном параллелепипеде, функция

Вместо Ф(х, у) лучше F(x,y).

Существует и непрерывна в D и имеет место следующая формула:

. (2.1)

Здесь интеграл òò_D(_eò^h f dz)dxdy называют повторным; его обычно записывают так:

Т.к. òò_D Ф(х,у)dxdy = _aò^b dx _cò^d Ф(x,y)dy, то формулу (2.1) можно переписать так:

. (2.2)

Выражение, стоящее в правой части, называется трёхкратным интегралом; формула (2.2) и сводит вычисление тройного интеграла (по параллелепипеду) к вычислению трёхкратного интеграла, т.е. к последовательному вычислению 3-х обыкновенных интегралов.

Анологично могут быть получены формулы:

и им подобные.

2.Пусть теперь область интегрирования V есть следующая замкнутая область; она ограничена снизу – поверхностью с уравнением z₁ = z₁(x,y), сверху поверхностью с уравнением z₂ = z₂(x,y), с боков – цилиндрической поверхностью (в частных случаях цилиндрическая поверхность может и стягиваться в линию), причём область V проектируется на плоскость хОу в некоторую область D.

Пусть функция f(x,y,z) непрерывна в области V.

Замечание.

Область V такова, что любая прямая, параллельная одной из координат осей, пересекает границу области не более чем в 2-х точках.

Область D, очевидно будет областью определения для непрерывной в ней функции z₁(x,y) и z₂(x,y):

z ₂(x,y) ³ z₁ (x,y).

Пусть область D ограничена линиями у₁ = у₁(х), у₂= у₂(х),

а £ х £ b.

Уравнение АСВ: у₁ = у₁(х); уравнение АЕВ: у₂= у₂(х).

Будем сначала производить интегрирование по направлению оси Oz. Для этого функция f(x,y,z) интегрируется по заключенному в области V отрезку прямой, параллельной оси Oz и проходящей через некоторую точку М(х; у) Î D.

Переменная интегрирования z будет изменяться при данных х и у от z₁(х,у) до z₂(x,y), где

z₁(х,у) – аппликата точки “ входа ” прямой в область V;

z₂(x,y)- аппликата точки “ выхода ” прямой из области V.

Результат интегрирования представляет собой величину, зависящую от т.М(х;у), обозначают её через F(x,y):

При интегрировании мы рассматриваем здесь х и у как постоянные (когда интегрируем по z).

Функция F(x,y) существует и непрерывна в области D.

Значение искомого интеграла òòò_V f(x,y,z)dn получим, если возьмём интеграл от F(x,y) при условии, что т.М(х;у) изменяется по области D, т.е. если возьмём òò_D F(x,y,)dxdy.

Таким образом, имеет место следующая формула для вычисления тройного интеграла:

= выражая, далее, òò_D через повторный получим =

(2.3)

Разумеется порядок интегрирования может быть избран другим.

Очевидно, для этого тело нужно проектировать на другие координатные плоскости.

3.Если область V имеет более сложную форму, то её разбивают на конечное число областей, каждая из которых сводится к рассмотренному выше виду.

Пример2.4.1.

Вычислить , где область V ограничена частью пораболоида y² + az² = bx (a > 0, b > 0), находящейся в первом октанте, координатными плоскостями и плоскостью х = с.

2.5. Замена переменных в тройном интеграле

Пусть замкнутое пространство области V взаимно однозначно отображается на области V* с помощью непрерывно дифференцирующих функций:

, ,

Якобиан преобразования имеют вид:

Если J¹0 в области V*, то имеет место формула

(2.4)

2.6 Переход в тройном интеграле к цилиндрическим координатам

При вычислении тройных интегралов часто бывает полезно перейти от прямоугольных координат к цилиндрическим.

Если мы на плоскости хОу введём вместо декартовых координат х,у точки М(x;y;z) полярные координаты r, q, оставив аппликату z этой точки без изменения,то получим так называемые цилиндрические координаты r,q, z точки М.

Они определяются, таким образом, следующими отношениями:

x = r cos q, y = r sin q, z = z (r ³ q, 0 £ q £ 2p, - ¥ < z < + ¥).

Найдём формулу перехода в тройном интеграле от декартовых координат к цилиндрическим.

Разобьём область V на частичные области V_i координатными поверхностями:

1) r = r₀(const) – круговые цилиндры х² + у² = r₀, образующие которых параллельны оси Oz;

2) q = q₀ (const) – полуплоскости, проходящие через ось Oz;

3) z = z₀ – плоскости, параллельные плоскости хОу.

Частичными областями V_i служат прямые цилиндры (рис.2.4).

Объём такого цилиндра dn = S_осн h (S_осн = dxdy = rdrdq; h = dz).

Поэтому для элемента объёма получаем

dn = rdrdqdz.

Преобразование òòò_V f(x,y,z) dn к цилиндрическим координатам производится совершенно аналогично преобразованию двойного интеграла к полярным.

Для этого нужно 1) в выражении подынтегральной функции f(x,y,z) переменные x,y,z заменить по формулам (2.1) и 2) взять элемент объёма dn, равным rdrdqdz.

Формула перехода к цилиндрическим координатам имеет вид

. (2.5)

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах проводится на основании тех же принципов, что и в случае декартовых координат.

Формулу (2.5) можно было получить из (2.4) вычислив якобиан преобразования:

Пример 2.6.1

В тройном интеграле перейти к цилиндрическим координатам, где V- область, ограниченная цилиндром x² + y² = R², плоскостями z = 0, z = 1,y = x, y = и расположенная в I октанте.

Пример 2.6. 2

Вычислить , где V – область, ограниченная параболоидом вращения z = 1 – x² – y², цилиндрической поверхностью х² + у² = 1 и плоскостью z = 1.

I» 1,31.

2.7. Тройной интеграл в сферических координатах

В этом случае положение т. М в пространстве можно определить (имея уже декартову систему прямоугольных координат x,y,z) задавая 1) расстояние r этой точки от начала координат (0 £ r < +¥), 2) угол j между радиусом – вектором ОМ и положительным направлением оси OZ (0 £ j £ p) и 3) угол q между проекцией ОМ, радиус – вектором ОМ на плоскости хОу и положительным направлением оси Ох (0 £ q £ p).

Установим связь между декартовыми координатами x, y, z точки М и её сферическими координатами.

Прежде всего (рис.2.7)

Z = ÷ ОМ÷ cos j = r cos j; далее,

Х =÷ ОМ₁÷ cos q; у = ÷ ОМ₁÷ sin q, где

÷ ОМ₁÷ = ÷ ОМ÷ sin j = r sinj. Отсюда

, ,

Формулы принятого преобразования точек:

(r ³ 0; 0 £ j £ p; 0 £ q £ 2p).

2.8. Найдём формулу перехода в тройном интеграле от декартовых координат к сферическим

Разобьём область V на частичные области поверхностями:

1) r = r₀ (const) – сферы x² + y² + z² = r₀² c центром в точке О (0 £ r₀ < +¥);

2) j = j₀ (const) - конические поверхности (с вершиной в точке О);

3) q = q₀ (const)- полуплоскости, проходящие через ось Oz.

Частичными областями V_i служат параллелепипеды с рёбрами длины dr, rdj, r sinj dq.

(соответственно: по направлению полярного радиуса r, по направлению с меридиана, по направлению параллели).

Элемент объёма в сферических координатах:

Фомула перехода в тройном интеграле от декартовых координат к сверическим выражается равенством

(2.6)

Формулу (2.6) можно получить используя формулу (2.4). Якобиан преобразования:

(разл. по элементам 3 строки)=

Тогда

sin j > 0, т.к. 0 < j < p.

Замечание.

Особенно удобно применение сферических координат в случае, когда область интегрирования V- шар с центром в начале координат или шаровое кольцо.

Трудно дать общее указание, когда следует применять ту или иную систему координат. Это зависит и 1) от области интегрирования, и 2) от вида подынтегральной функции.

Иногда следует написать интеграл в разных системах координат и только потом решить, в какой из них вычисление будет наиболее простым.

Пример 2.7.1

Вычислить , где верхняя часть шара x² +y² + z² £ R²,

отсекаемая плоскостью хОу.

2.9 Приложения тройного интеграла

2.9.1 Объём тела

Пусть f(x,y,z) º 1 во всех точках области V.

Тогда = n; переход к пределу получим

. (2.7)

Пример 2.9.1.

Найти объём тела, ограниченного сферой x² + y² + z² = 4 и параболоидом 3z = x² + y².

(куб.ед).

2.10. Масса тела

Ранее было получено, что масса неоднородного тела, занимающего пространство области V, равна

, (2.8)

где d(x,y,z) – плотность тела.

Пример.

Найти массу тела, ограниченного конусом и плоскостью z = 4, если плотность в каждой точке тела численно равна аппликате z этой точки.

2.11. Статические моменты и центр тяжести тела

Определение.

Статическим моментом материальной точки относительно плоскости называется произведение массы точки на её расстояние до данной плоскости.

Если дана система материальных точек, то её статический момент определяется как сумма соответствующих статических моментов материальных точек, составляющих эту систему.

Пусть требуется найти статические моменты и координаты центра тяжести тела V относительно координатной плоскости, представляющей собой (геометрически) замкнутую область, плотность которой d = d(x,y,z).

Разобьём тело на частичные области V_i с объёмами Dn_i (i = 1, 2,..., n)

В пределах каждой области V_i возьмём по точке (x_i, h_i, V_i).

Считая приближённо плотность в каждой точке малого тела V_i постоянной, равной плотности в точке (x_i, h_i, V_i), получим приближённое выражение для массы этого малого тела:

Заменим каждое малое тело материальной точкой (x_i, h_i, V_i) с массой Dm_i.

Статический момент точки (x_i, h_i, V_i) относительно координатной плоскости хОу даст приближённое значение статического момента тела V_i относительно плоскости хОу:

Статический момент всего тела:

В пределе при условии, что малые тела стягиваются в точку, получим точное значение статического момента:

Аналогично выводятся формулы для статического момента тела относительно плоскостей хОz и yOz:

Координаты центра тяжести тела V определяются равенствами, аналогичными рассмотренным в разделе “ Двойной интеграл ”:

где m – масса тела:

Следовательно,

(2.9)

Замечание.

Для однородного тела d = const, поэтому формулы примут вид:

, (2.10)

где n- объём тела.

Пример 2.10.1

Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного пораболоидом z = x² + y², цилиндрической поверхностью х² + у² = 4, плоскостью z = 0.

(куб.ед).

Исходя из симметрии тела относительно координатных плоскостей xOz и yOz, заключаем, что центр тяжести лежит на оси Oz, поэтому

x_c = y_c = 0.

т.С (0; 0; 4/3).

2.12 Моменты инерции

Пусть дано тело V, плотность которого d = d(x,y,z). Найдём моменты инерции тела относительно осей координат.

Выделив малое тело V_i с объёмом Dn_i, найдём приближённое значение его момента инерции относительно оси Ох:

Моментом инерции материальной точки относительно оси называется произведение массы этой точки на квадрат расстояния её до этой оси.

Момент инерции тела

В пределе при условии, что каждое из малых тел стягивается в точку, получим точное равенство:

. (2.11)

Аналогично:

. (2.12)

Пример 2.11.1

Найти моменты инерции однородного (d = 1) цилиндра с высотой Н и радиусом основания а 1) относительно диаметра основаия и 2) относительно оси цилиндра, считая, что ось цилиндра направлена по оси Ох.