. (3.4)
Функция f(x,y) в этом случае называется интегрируемой вдоль дуги АВ.
(dl – дифференциал дуги).
Пользуясь введёным определением, мы можем теперь выражение для массы m дуги АВ записать в виде
, (3.5)
где d (x,y) – плотность распределения массы по дуге АВ.
Криволинейный интеграл I рода обладает следующими простейшими свойствами:
1. 
; где С = const
2 2. 
3 3. 
– (свойство аддитивности). Если некоторой точкой С дуга АВ разбита на две дуги АС и СВ и функция f(x,y) интегрируема вдоль каждой из дуг АС и СВ, то она интегрируема вдоль самой дуги АВ, причём
(т.е., если дугу АВ разбить точкой С на две – АС и СВ, то 
).
Эти свойства криволинейного интеграла I рода легко доказываются, исходя из определения криволинейного интеграла, как предела интегральных сумм (подобно тому, как доказываются аналогичные свойства определённых интегралов).
4.Величина криволинейного интеграла I рода не зависит от направления интегрирования:
.
Доказано, если при составлении интегральной суммы мы будем производить нумерацию точек деления дуги АВ в направлении от В к А (т.е. в обратном рассмотренному выше),то это не изменит интегральной суммы
(величины Dlk – длины дуг Мк-1Мк обязательно положительные, независимо от того, какую точку дуги Ав мы считаем начальной, а какую – конечной 0, а значит, и её предела, а потому òАВ = òВА.
Замечание.
И так как интеграл не зависит от направления интегрирования (от направления пути), то при вычислении пределы берём как обычно, например по оси Ох слева направо.
ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА I РОДА
Криволинейный интеграл по длине дуги легко преобразуется к обыкновенному определённому интегралу.
Это и используется для вычисления криволинейных интегралов.
Пусть требуется вычислить .
Рассмотрим следующие 3 случая:
I.Линия АВ задана уравнением у = j (х)
Функция j (х) имеет непрерывную производную j1 (х)
т.А(х1;у1), т.В (х2; у2).
Тогда, заменяя у и dl выражениями через х и dx, придём к обыкновенному определённому интегралу:
(3.6)
где х1 и х2 – абсциссы начальной и конечной точек линии АВ.
Пример 3.1.1
Вычислить криволинейный интеграл 
, где Z - контур прямоугольника с вершинами в точках:
О(0;0), А(4;0), В(4;2), С(0;2).
.
1)уравнение (ОА): 
2)уравнение (АВ): 
3)уравнение (СВ): 
.
4)уравнение (ОС): 
Таким образом, 
.
2.Пусть линия АВ задана параметрическими уравнениями:
х = j (t), y = y (t) (t1 £ t £ t2);
функции j (t) и y (t) имеют непрерывные производные j1(t) и y1(t).
Для определенности будем считать, что точке А соответствует значение t = t11, а точке В – значение t = t2, причём при изменении t от t1 и t2 точка А пробегает дугу АВ в выбранном нами направлении.
Здесь 
, (3.7)
где t1 и t2 – значения параметра t для начальной и конечной точек А и В линии АВ.
Таким образом, для того чтобы вычислить криволинейный интеграл òАВ f(x,y) dl, где линия АВ задана параметрическими уравнениями, достаточно в подынтегральном выражении 1) положить х = j(t), у = y(t), и 2) вычислить полученный таким образом определённый интеграл в соответствующих пределах изменения параметра t.
Пример 3.1.2
Вычислить криволинейный интеграл
,
где а > 0 и АВ – часть астроиды х = cos3t, у = а sin3t , расположенная в первой четверти.
.
3.Пусть линия АВ задана уравнением r = r(q); q1 £ q £ q2; функция r(q) имеет непрерывную производную r1(q).
Тогда 
.
Пример3.1.3
Вычислить 
где Z - окружность х2 + у2 = а2.
I =? Переходим к полярным координатам: х2 + у2 = а2 Û r2 = а2 Þ r= а.
Пример 3.1.4
Найти массу дуги кривой у = ех между точками А и В, для которых 0 £ х £ 2, если в каждой точке дуги АВ линейная плотность пропорциональна квадрату ординаты.
Решение.
3.2 Криволинейный интеграл II рода (по координатам)
Пусть вдоль некоторой линии АВ, лежащей в плоскости хОу, определена функция Р(х,у) двух переменных х и у.
Разобьём дугу АВ на n частичных дуг с помощью произвольно выбранных на ней точек М1, М2,...,Мn-1, располагающихся в направлении от т.А к т.В.
Положим А º М0, В º Мn.
Обозначим через хк и ук координаты точек Мк (к = 0,1,2,.., n).
Возьмём на каждой частичной дуге ÈМк-1Мк произвольную точку Nk (xк, hк). Вычислим во взятых точках значения Р(xк, hк) функции Р(х,у).
Составим затем произведения этих значений на величины
Dхк = хк – хк-1 проекций дуг Мк-1Мк на ось Ох и образуем сумму s всех таких произведений:
.
Величиной проекции направленной дуги Мк-1Мк на ось называют величину проекции 
на эту ось.
Сумма sназывается интегральной суммой, составленной для функции Р(х,у) на дуге АВ (или, как говорят, вдоль дуги) по координате х.
Будем неограниченно увеличивать число n точек деления дуги АВ, однако так, чтобы длины всех частичных дуг стремились к нулю.
Дадим тогда следующее определение.
Определение 3.2.1
Криволинейным интегралом от функции Р(х,у) вдоль линии (дуги) АВ по координате х называется предел, к которому стремится интегральная сумма s, когда длины всех частичных дуг стремяться к нулю, при условии, что 1) этот предел $ и 2) не зависит ни от способа разбиения дуги АВ на частичные дуги, ни от выбора точек (xк, hк) на этих дугах.
Символически криволинейный интеграл обозначается
(дуга АВ при этом называется путём интегрирования).
Итак, по определению
. (3.8)
Аналогично определяется криволинейный интеграл вдоль линии АВ по координате у:
. (3.9)
где Dук = ук – ук-1 – проекция дуги Мк-1Мк.
Если криволинейные интегралы (3.1) и (3.2) существуют, то функция Р(х,у) называется интегрируемой вдоль линии АВ по координате соответственно х и у.
Замечание.
Из определения криволинейного интеграла следует, что величина его, вообще говоря, зависит как от вида подынтегральной функции, так и от формы дуги АВ, вдоль которой рассматривается этот интеграл.
В случае, когда 1) вдоль дуги АВ определены две функции P(x,y) и Q(x,y) и 2) существуют интегралы òАВ P(x,y) dх и òАВ Q(x,y) dу, сумму этих интегралов
называют криволинейным интегралом общего вида (полным криволинейным интегралом) вдоль дуги АВ и обозначают
.
Именно с криволинейным интегралом этого вида особенно часто приходится иметь дело в приложениях.
Таким образом, по определению
.
Замечание.
Определение криволинейного интеграла не исключает случая замкнутой линии (как и для интеграла I рода). Направление на замкнутой кривой должно быть каким – либо способом указано заранее. Замкнутую линию обозначают буквой, например L. Для обозначения криволинейного интеграла по замкнутому контуру употребляют также символом 
.
Возвращаясь к задаче о вычислении работы силы 
при перемещении материальной точки по дуге ВС, можем записать:
,
где Р(х,у) и Q(x,y) - проекции вектора 
соответственно на оси Ох и Оу.
Таков механический смысл криволинейного интеграла по координатам.
3.2.1 Основные свойства криволинейного интеграла по координатам
Рассмотрим некоторые свойства криволинейного интеграла по координатам, непосредственно вытекающие из его определения.
Эти свойства рассмотрим для интеграла 
.
1. 
, где С = cons t.
2. 
3.(Свойство аддитивности). Если некоторой точкой С дуга АВ разбита на 2 дуги АС и СВ и функция Р(х,у) интегрируема вдоль каждой из дуг АС и СВ, то она интегрируема и вдоль самой дуги АВ, причём
+ 
.
Первые три свойства криволинейного интеграла легко доказываются, исходя из соответствующих интегральных сумм (как и для определённого интеграла).
4.При изменении направления интегрирования (на противоположное), криволинейный интеграл изменяет лишь свой знак:
(проекции противоположно направленных отрезков отличаются знаками).
Доказано, если точку В посчитать началом, а точку А – концом дуги АВ, то точка Мк деления этой дуги будет предшествовать точке Мк-1 (к = 1,2,..., n) и, значит, числа Dхк = хк – хк-1, входящие в интегральную сумму s, заменяются числами хк-1 - хк, а следовательно сама сумма s заменится суммой
.
Так как 
и если криволинейный интеграл вдоль дуги АВ существует, то существует и lim суммы, стоящей в левой части; переходя к пределу, получим доказываемое равенство.
Вывод.
Таким образом, при вычислении криволинейного интеграла по координатам необходимо учитывать направление интегрирования, тогда как для интегрирования по длине дуги направление интегрирования не имело значения.
5.Если функция Р(х,у) интегрируема по замкнутому контуру L, то величина криволинейного интеграла 
не зависит от того, какую точку контура L выбрать за начало (и тем самым за конец) пути интегрирования.
Доказано, пусть А и В – любые две несовпадающие точки контура. Возьмём в качестве начальной точки обхода контура точку А.
Тогда криволинейный интеграл представим в виде суммы криволинейных интегралов по дугам AmB и BnA переставим слагаемые
.
Здесь уже в качестве начальной точки будет точка В.
Замечание. При вычислении криволинейного интеграла вдоль той или иной дуги направление интегрирования указывается порядком написания букв, обозначающих начало и конец этой дуги.
Если же контур замкнут, то положительным направлением обхода контура L называют то направление, при котором часть области, ограниченная этим контуром, остаётся слева от наблюдателя.
Противоположное этому направление называют отрицательным. Если путь интегрирования L есть простая замкнутая линия, то при отсутствии дополнительных указаний криволинейный интеграл вычисляется в положительном направлении.
3.2.2 Вычисление криволинейных интегралов
Криволинейные интегралы II рода вычисляются также путём сведения их к обыкновенным определённым интегралам.
Пусть требуется вычислить
.
I случай.
Пусть линия АВ задана уравнением y = f(x), где f(х) – непрерывная и дифференцируемая функция; т.А (х1;у1), т.В (х2;у2).
Тогда 
Пример 3.2.2.1
Вычислить 
, где L – контур прямоугольника, образованного прямыми х = 1, у= 1, х = 3, у = 5. Интегрирование вести в положительном направлении.
1) 
; уравнение АВ: у = 1 Þ dy = 0
2) 
.
3) 
, т.к. уравнение CD: y = 5 Þ dy = 0.
4) 
2 случай.
Пусть линия АВ задана параметрическими уравнениями х = j (t), y = y(t), где j(t) и y(t) – непрерывные и дифференцируемые функции.
Начальной т.А соответствует значение параметра t = t1; конечной т.В t = t2.
Заменив в 
“ х” и “ у ” выражениями через t, dx и dy - через t и dt прийдём к обыковенному определённому интегралу:
. (3.10)
Пример 3.2.2.2
Вычислить значение криволинейного интеграла 
, где АВ – верхняя половина окружности х = R × cos t, y = R × sin t (рис 3.9).
.
3.2.3 Формула Грина
Между криволинейным интегралом взятым по замкнутой линии L, ограничивающей некоторую область D, и двойным интегралом по области D существует определённая связь.
Выводом формулы, устанавливающей эту связь, мы и займёмся.
Рассмотрим в плоскости хОу замкнутую область D, ограниченную замкнутым контуром L.
Теорема 3.2.1
Пусть в простой замкнутой области D, ограниченной контуром L, заданы непрерывные функции Р(х,у) и Q(x,y), имеющие непрерывные частные производные 
. Тогда справедливо следующее равенство:
, (3.11)
называемое формулой Грина (английский математик и физик).
Доказательство 1. Вычислим интегралы:
.
Пусть область проектируется на ось Ох в отрезок [ а, b]; сверху и снизу она ограничена линиями:
у2 = у2 (х) – (уравнение AmB)
у1 = у1 (х) - (уравнение AnB),
причём функции у1(х) и у2(х) непрерывны на [ a,b]; у2(х) ³ у1(х):
а.Вычисление:
. (3.12)
б.Вычисление: 
= (представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов по линиям AnB и BmA) =
. (3.13)
Из равенств (3.1) и (3.2) следует:
. (3.14)
2.Вычислим: 
.
Для вычисления этих интегралов проектируем область D на ось Оу.
Пусть область D проектируется на ось Оу в отрезок [ c,d ].
Уравнение линии NnM: х = х1(у); уравнение линии NmM: х2 = х2(у). уÎ [c,d].
Функции х1(у) и х2(у) непрерывны на [c,d], причём х2(у) ³ х1(у).
a)
(3.15)
б) 
(3.16)
Из равенств (3.15) и (3.16) следует:
(3.17)
Вычтем из равенства (3.17) равенство (3.14) почленно, получим доказываемую формулу.
Таким образом, двойной интеграл по области D можно заменить криволинейным по контуру L, ограничивающему область D. Формула Грина широко применяется как в самом 1) математическом анализе, так и 2) его приложениях.
Замечание.
Формула Грина остаётся справедливой для любой области, ограниченной одним или несколькими контурами.
Пример 3.2.3
Применяя формулу Грина, вычислить 
, где L – эллипс
.
Решение:
Функции Р и Q непрерывны вместе со своими частными производными 
в области D.
= (площадь эллипса Sэл = p×a×b) = 
.
3.3 Вычисление площадей фигур с помощью криволинейного интеграла
Криволинейные интегралы часто удобно использовать при вычислении площадей плоских фигур.
Пусть область D ограничена замкнутым контуром L. Найдём площадь области D. Пусть имеет место
(3.18)
1)положим в формуле (3.1) Р(х,у) º у,
Q(x,y) = 0. Тогда 
Получим: 
; (3.19)
2)положим в формуле (1) Р(х,у) = 0, Q(х,у) º x.
Тогда
; (3.20)
3)складывая почленно равенства (3.19) и (3.20) и деля обе части полученного равенства на 2, приходим к формуле
. (3.21)
Формулы (3.19),(3.20),(3.21) выражают площадь плоской фигуры через криволинейный интеграл, взятый по её контуру.
Для вычисления площадей плоских фигур пользуются любой из этих формул, но последняя наиболее удобна.
Пример 3.3.1
Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом х = a×cos t, y = b×sint
. 
Пример 3.3.2.
Вычислить площадь, ограниченную линией 
.
Известно, что вершина А 
; здесь а = 1.
А , т.е. х = у Û 
Þ t1 = 0, t2 = 1
(кв.ед).
3.4 Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования
Прежде чем рассматривать этот вопрос, решим следующий пример
Вычислить криволинейный интеграл
.
По линии L, соединяющей точки А(0;- 2) и В(1;0), если линия L есть:
1) прямая у = 2х – 2 (L1);
2) парабола у2 = 4 – 4х (L2);
3) эллипс 
= 1 (L3)
по L3 уравнение эллипса взять в параметрической форме t Î[ -p/2; 0].
Решение.
а) L1: y = 2x – 2 Þ dy = 2dx.
