Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле 7 страница

б) L₂: y² = 4 - 4x Û

;

в)

Как видим, значение криволинейного интеграла по различным линиям, соединяющим одни и те же точки, здесь одинаково.

Как будет установлено ниже, это обстоятельство является характерным для ряда случаев.

Пусть в некоторой области D плоскости хОу определены и непрерывны функции Р(х,у) и Q(х,у).

Возьмём в этой области любые две точки А и В.

Будем соединять взятые точки различными линиями L, целиком лежащими в области D, и по ним вычислять криволинейный интеграл

Мы получим различные значения интеграла.

Но пример, рассмотренный выше, показывает, что в некоторых случаях криволинейный интеграл может иметь одинаковые значения вдоль всех кривых, соединяющих фиксированные точки А и В.

Если значения криволинейного интеграла по всевозможным линиям, целиком лежащим в данной области D и имеющим общее начало и общий конец, одинаковы, то говорят, что этот интеграл в области D не зависит от формы пути интегрирования.

Возникает, таким образом, вопрос: при каких условиях криволинейный интеграл II рода не зависит от формы пути L интегрирования, а зависит только от положения начальной и конечной точек А и В этого пути (т.е. зависит исключительно от начальной и конечной точек линии интегрирования).

К выявлению этих условий мы и перейдём.

Теорема 3.4.1.

Для того, чтобы криволинейный интеграл

не зависел от пути интегрирования в некоторой области D, необходимо и достаточно, чтобы он равнялся нулю по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в этой области.

Доказательство.

а. Необходимость условия.

Пусть интеграл не зависит от пути интегрирования (в некоторой области D)

Докажем, что в таком случае этот интеграл = 0 по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в области D.

Возьмём в области D произвольный замкнутый контур АВСЕА.

Имеем: (т.к. интеграл не зависит от пути интегрирования – по сделанному допущению, т.е. ).

Следовательно, .

б. Достаточность.

Теперь пусть, наоборот, дано, что интеграл (3.1) по любому замкнутому контуру, целиком находящемуся в области D, = 0.

Докажем, что этот интеграл не зависит от формы пути интегрирования.

Рассмотрим в области D замкнутый контур АВСЕА.

Имеем:

Теорема 3.4.2.

Пусть функции Р(х,у) и Q(х,у) определены и непрерывны вместе со своими частными производными в замкнутой ограниченной односвязной области D.

Тогда, для того чтобы криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру L, лежащему в области D, не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D выполнялось условие:

. (3.22)

Замечание.

Здесь существенно, что область D односвязна, т.е. “ без дырок ” (ограничена только одной замкнутой линией). В противном случае теорема в случае достаточности неверна, т.е. для многосвязанной области эта теорема (в общем случае) не имеет места.

Доказательство.

а. Необходимость.

Пусть криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.

Тогда (по теореме 3.4.1) интеграл по любому замкнутому контуру в области D = 0.

Покажем, что тогда в каждой точке области D выполняется равенство.

Будем доказывать это методом от противного. Пусть условие (3.22) не выполняется хотя бы в одной т. М(х₀;у₀) Î D, т.е.

Пусть для определённости

Частные производные непрерывны, по условию, в т.М; следовательно, разность их также непрерывна в т.М.

А значит существует такая окрестность D¹ т. М, во всех точках которой выполняется неравенство

(включая и контур области D¹).

Тогда по формуле Грина имеем:

по свойству двойных интегралов.

по теореме 1.

L¹ – граница области D¹.

По теореме 1 . Пришли к противоречию (левая часть > 0; правая = 0).

Значит предположение, что

хотя бы в одной точке области D, неверно.

Отсюда вытекает, что во всех точках области D.

Достаточность.

Пусть в области D (во всех точках) выполняется условие. Возьмём в области D произвольный замкнутый контур Z₁ и применим к нему формулу Грина

где D₁ – область, ограниченная контуром L₁.

по условию (3.I).

Отсюда .

По теореме 1 заключаем, что криволинейный интеграл в области D не зависит от пути интегрирования.

Вывод.

Условие независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования:

2) .

Если своевременно установить, что криволинейный интеграл не зависит от формы пути интегрирования, то, выбрав в качестве пути интегрирования путь, заданный наиболее простым уравнением, можно значительно упростить вычисление криволинейного интеграла.

Пример 3.4.1

, где L – дуга окружности с центром в начале координат, соединяющей точки А(1;0) и В(0;1).

Следовательно, данный криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.

В качестве пути интегрирования возьмём ломаную АОВ.

Замечание.

Если будет время, то можно вычислить этот интеграл по дуге окружности. Только уравнение окружности взять

3.5. Механические приложения криволинейных интегралов

Пусть скалярная величина P(L) (масса, заряд, количество теплоты и т.п.) распределена на кривой L с линейной плотностью , тогда

Если -плотность распределения массы на кривой L и r(m) – расстояние точки mÎL до некоторой плоскости или прямой Q, то интегралы

называются моментами порядка k кривой L относительно соответствующей плоскости или прямой. Формально можно сказать, что масса кривой L является моментом нулевого порядка кривой L относительно любой плоскости для прямой. Моменты первого порядка называются статическими моментами, моменты второго порядка – моментами инерции.

Используя запись массы как момента нулевого порядка, выпишем формулы для вычисления координат х₀, у₀, z₀ центра масс кривой L с плотностью r:

Пример 3.5.1. Найти момент инерции кривой

с плотностью r(x,y,z) = z относительно плоскости XZ.

Так как расстояние точки m = (x,y,z) от плоскости XZ есть .Для данной кривой имеем:

Следовательно,

Пример 3.5.2 Найти работу, производимую силой вдоль L (рис. 3.19).

Решение.L: ABC, где А(1,1), В(3,1),С(3,5).

АВ: у = 1; 1 < x < 3;

ВС: х = 3; 1 < x < 5

АС: у = 2х – 2, dy = 2dx

Работа, производимая силой вдоль L

Упражнения.

Задание 1. Используя формулу Грина вычислить следующие интегралы (L- пробегаемый в положительном направлении контур):

1.1 L: от точки А(1;3) до В(2;4)

1.2 L: от точки А(0;0) до В(1;1)

1.3 L: треугольник ОАВ, где О(0;0), А(0;1),В(1;1)

1.4

1.5 L: треугольник АВС, где А(1;1),В(2;2), С(1;3)

Задание 2. Вычислить криволинейные интегралы второго рода от заданных функций по данным линиям в указанных направлениях:

2.1 L: отрезок прямой от точки А(1;2;-1) до точки В(3;3;2)

2.2 L: дуга кривой x = t, y = t², z = t³, 0 £ t £ 1

2.3 L: отрезок прямой от точки А(2;1;0) до точки В(4;3;1)

2.5 L: отрезок прямой от точки А(1;0;2) до точки В(2;-1;0)

2.6 L: дуга кривой

Задание 3. Найти работу, производимую силой вдоль указанного пути L:

3.1 L: отрезок прямой от точки А(0;1) до точки В(1;2)

3.2 L: ломаная АВС, где А(1;1), В(3;1),С(3;5)

3.3 L: дуга ху = 1, от точки А(1;1) до В(4;1/4)

3.4 L: эллипс

3.5 L: эллипс

3.6 Тестовые задания для самостоятельной работы

Задание: Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции f(x,y) по длине дуги L заданной уравнением . f (x, y)= x ; L: y=ln x; 1 x 2

Ответы: 1) 2) 3)

Задание: Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции f(x,y) по длине дуги L заданной уравнением . f (x, y) = y; L: y = 2x от точки А(0;0) до точки В(2; 2)

Ответы: 1) 2) 3) 4)

Задание: Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции f(x,y) по длине дуги L заданной уравнением . f (x, y) = ; L: отрезок прямой соединяющий точки A (0;-2) и B (4;0)