где DSi – площадь Gi, так как точка Vi = Z(xi, hi).
Переходя в (4.1) к пределу при d®0 получаем
. (4.6)
Аналогично:
. 
(4.7)
G1 – проекция S на Oyz.
(4.8)
G2 – проекция S на Ozх.
4.4.1. Связь между поверхностными интегралами I и II рода
Пусть гладкая ориентированая поверхность, на которой задана непрерывная вектор – функция 
(М) = [ P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)], 
(M) – единичная нормаль = (cosa, cosb, cosg), тогда
(4.9)
Отсюда видно, что если выбрать другую сторону поверхности, то направляющий косинус изменит знак.
Пример 4.4.2 Вычислить
, где S - поверхность треугольника, образованного пересечением плоскости х – у +z = 1 с координатными плоскостями: х = 0, у = 0, z = 0 в верхней стороне поверхности.
.
.
4.5. Формула Остроградского
4.5.1 Связь между поверхностным интегралом и тройным интегралом
Теорема 4.5.1 Если функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)непрерывны вместе со своими частными производными I-го порядка в области V, ограниченной замкнутой поверхностью S, то имеет место формула
. (4.10)
Пример 4.5.1
,
где S – внешняя сторна сферы x2 + y2 + z2 = R2.
Решение.
Применим формулу Остроградского:
Вводим сферические координаты
.
4.6. Связь поверхностного интеграла с криволинейным интегралом
4.6.1. Теорема Стокса
Рассмотрим формулу, связывающую поверхностный интеграл с криволинейным
Теорема 4.6.1.1. Если Р(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) есть непрерывные функции вместе со своими частными производными первого порядка на поверхности S, то имеет место формула
,
где L – граница поверхности S; cosa, cosb, cosg - направляющие косинусы нормали к поверхности S.
Доказательство. Пусть уравнение поверхности S 
Рис. 4.7.
Преобразуем сначало криволинейный интеграл по L в криволинейный интеграл по плоскому контуру l:
Т.к. S- верхняя сторона поверхности, т.е. cosg > 0, то 
.
Но известно, что направляющие косинусы нормали пропорциональны соответствующим координатным нормалям, таким образом:
.
Следовательно, 
Переходим к поверхностному интегралу =
(4.11)
2.Аналогично:
(4.12)
. (4.13)
3.Складывая (4.11),(4.12), (4.13), получим доказываемую формулу.
Пример 4.6.1.1 Вычислить с помощью формулы Стокса 
,
L- окружность 
А поверхностью S служит верхняя сторона полусферы x2 + y2 +z2 =1.
.
Упражнения.
Задание 1. Вычислить поверхностные интегралы первого рода 
по указанным поверхностям:
1.1.П: полусфера 
1.2.П:поверхность параболоида вращения 
ограниченная плоскостями z = 0; z = 2; f(x,y,z) = x2 + y2
1.3.П: коническая поверхность 
, ограниченная плоскостями z = 0; z = 1; f(x,y,z) = x2 +y2
1.4.П:поверхность параболоида вращения 
, ограниченная плоскостями z = 0; z = 1; f(x,y,z) = 
.
1.5 П:часть поверхность конуса 
.
Задание 2. Вычислить поверхностные интегралы второго рода:
2.1 
по нижней стороне круга 
2.2 
по нижней стороне части конуса 
2.3 
по нижней стороне круга 
2.4 
по верхней стороне цилиндрической поверхности 
2.5 
по внешней стороне части поверхности 
, отсечённой плоскостями у = 0, у = 1
2.6 
по верхней стороне 
, отсечённой плоскостью z = 0
2.7. 
По внешней стороне 
отсечённой плоскостями z = 0, z = 2
2.8. 
по внешней части параболоида x = a2 – y2 – z2, отсечённой плоскостью УО.
