Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле 9 страница

 

где DS_i – площадь G_i, так как точка V_i = Z(x_i, h_i).

Переходя в (4.1) к пределу при d®0 получаем

 

. (4.6)

 

Аналогично:

 

. (4.7)

 

G₁ – проекция S на Oyz.

 

(4.8)

 

G₂ – проекция S на Ozх.

 

4.4.1. Связь между поверхностными интегралами I и II рода

Пусть гладкая ориентированая поверхность, на которой задана непрерывная вектор – функция (М) = [ P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)], (M) – единичная нормаль = (cosa, cosb, cosg), тогда

 

(4.9)

Отсюда видно, что если выбрать другую сторону поверхности, то направляющий косинус изменит знак.

Пример 4.4.2 Вычислить

, где S - поверхность треугольника, образованного пересечением плоскости х – у +z = 1 с координатными плоскостями: х = 0, у = 0, z = 0 в верхней стороне поверхности.

 

.

 

.

4.5. Формула Остроградского

4.5.1 Связь между поверхностным интегралом и тройным интегралом

Теорема 4.5.1 Если функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)непрерывны вместе со своими частными производными I-го порядка в области V, ограниченной замкнутой поверхностью S, то имеет место формула

 

. (4.10)

 

Пример 4.5.1

,

где S – внешняя сторна сферы x² + y² + z² = R².

Решение.

Применим формулу Остроградского:

 

Вводим сферические координаты

 

.

 

 

4.6. Связь поверхностного интеграла с криволинейным интегралом

4.6.1. Теорема Стокса

Рассмотрим формулу, связывающую поверхностный интеграл с криволинейным

Теорема 4.6.1.1. Если Р(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) есть непрерывные функции вместе со своими частными производными первого порядка на поверхности S, то имеет место формула

 

,

 

где L – граница поверхности S; cosa, cosb, cosg - направляющие косинусы нормали к поверхности S.

Доказательство. Пусть уравнение поверхности S

 

 

Рис. 4.7.

Преобразуем сначало криволинейный интеграл по L в криволинейный интеграл по плоскому контуру l:

Т.к. S- верхняя сторона поверхности, т.е. cosg > 0, то .

Но известно, что направляющие косинусы нормали пропорциональны соответствующим координатным нормалям, таким образом:

.

 

Следовательно,

Переходим к поверхностному интегралу =

(4.11)

2.Аналогично:

 

(4.12)

. (4.13)

3.Складывая (4.11),(4.12), (4.13), получим доказываемую формулу.

 

Пример 4.6.1.1 Вычислить с помощью формулы Стокса ,

L- окружность

А поверхностью S служит верхняя сторона полусферы x² + y² +z² =1.

 

 

.

 

Упражнения.

Задание 1. Вычислить поверхностные интегралы первого рода по указанным поверхностям:

1.1.П: полусфера

1.2.П:поверхность параболоида вращения ограниченная плоскостями z = 0; z = 2; f(x,y,z) = x² + y²

1.3.П: коническая поверхность , ограниченная плоскостями z = 0; z = 1; f(x,y,z) = x² +y²

1.4.П:поверхность параболоида вращения , ограниченная плоскостями z = 0; z = 1; f(x,y,z) = .

1.5 П:часть поверхность конуса .

 

Задание 2. Вычислить поверхностные интегралы второго рода:

 

2.1 по нижней стороне круга

2.2 по нижней стороне части конуса

2.3 по нижней стороне круга

2.4 по верхней стороне цилиндрической поверхности

2.5 по внешней стороне части поверхности , отсечённой плоскостями у = 0, у = 1

2.6 по верхней стороне , отсечённой плоскостью z = 0

2.7. По внешней стороне отсечённой плоскостями z = 0, z = 2

2.8. по внешней части параболоида x = a² – y² – z², отсечённой плоскостью УО.