Ответ: 1) 
2) 
3) 
4) 
41. С помощью тройного интеграла найти обьем тела, ограниченного поверхностями 
, 
Ответ: 1) 
2) 
3) 
4) 
42. С помощью тройного интеграла найти обьем тела, ограниченного поверхностями 
, 
, 
, 
Ответ: 1) 
2) 4 3) 2 4) 16
43. С помощью тройного интеграла найти обьем тела, ограниченного поверхностями 
, 
, ,
Ответ: 1) 
2) 
3) 
4)
44. С помощью тройного интеграла найти обьем тела, ограниченного поверхностями , 
, , 
Ответ: 1) 
2) 
3) 
4) 
45. Задание: Найти массу пластинки D c плотностью 
.
D: 
, 
, 
, 
, (
).
Ответы:1) 
2) 
3) 
4) 
46. Задание: Найти массу пластинки D c плотностью .
D: 
, , 
, 
, ().
Ответы:1) 
2) 
3) 
4) 
47. Задание: Найти массу пластинки D c плотностью .
D: , , 
, 
, ().
Ответы:1)18,5 2) 5,5 3)9,5 4)9
48. Задание: Найти массу пластинки D c плотностью .
D: 
, , 
, 
, ().
Ответы: 1)3 2)6 3) 9 4) 0
49. Задание: Найти массу пластинки D c плотностью .
D: , , , 
, ().
Ответы:1) 16 2) 
3) 32 4) 
50. D: 
, , 
, 
, ().
Ответы:1)2 2) 4 3) 6 4) 8
51. Задание: Найти массу пластинки D c плотностью .
D: , , , 
, ().
Ответы: 1)8 2) 2 3)4 4)1
52. Задание: Найти массу пластинки D c плотностью .
D: , , , 
, ().
Ответы: 1)9,5 2)5,5 3) 9 4) 18,5
53. Задание: Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного тела Т с плотностью р = 1, ограниченного поверхностями: 
, 
, 
, (
).
Ответы:1) 
2) 
3) 
4) 
54. Задание: Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного тела Т с плотностью р = 1, ограниченного поверхностями: 
, 
, 
.
Ответы: 1) 
2) 
3) 
4) 
55. Задание: Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного тела Т с плотностью р = 1, ограниченного поверхностями: 
Ответы: 1) 
2) 
3) 
4) 
56. Задание: Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного тела Т с плотностью р = 1, ограниченного поверхностями: 
, 
, .
Ответы:1) 
2) 
3) 
4) 
57. Задание: Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного тела Т с плотностью р = 1, ограниченного поверхностями: 
, 
.
Ответы:1) 
2) 
3) 
4) 
58. Задание: Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного тела Т с плотностью р = 1, ограниченного поверхностями: 
, .
Ответы:1) 
2) 
3) 
4) 
59. Задание: Найти массу тела Т с плотностью , ограниченного указанными поверхностями 
, 
, , , ,(
, ); 
.
Ответы:1)2 2)4 3)3 4)1
60. Задание: Найти массу тела Т с плотностью , ограниченного указанными поверхностями 
, 
, , ,(, , 
); 
.
Ответы:1) 
2) 
3) 
4) 0
61. Задание: Найти массу тела Т с плотностью , ограниченного указанными поверхностями 
, 
, , ,(, ); 
.
Ответы:1) 
2) 
3) 
4) 
62. Задание: Найти массу тела Т с плотностью , ограниченного указанными поверхностями , 
, , , ,(, ); 
.
Ответы: 1) 2) 3) 04)
63. Задание: Найти массу тела Т с плотностью , ограниченного указанными поверхностями , 
, , ,(, , ); 
.
Ответы:1) 
2) 
3) 
4) 
64. Задание: Найти массу тела Т с плотностью , ограниченного указанными поверхностями 
, , , , ,(, , ); 
.
Ответы: 1) 2) 3) 4) 
Ответы к тестам:
| Номер задания | |||||||||||||||
| Номер ответа |
3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Рассмотрим ещё одно важное обобщённое понятие определённого интеграла на функции нескольких переменных – понятие криволинейнолго интеграла.
К этому понятию приводят ряд задач из различных областей знаний.
Интегралы, рассмотриваемые нами до сих пор, имели своими областями интегрирования либо 1) отрезки на прямой, либо 2) некоторые области в плоскости, или 3) в трёхмерном пространстве.
Сейчас нам предстоит рассмотреть случай, когда областью интегрирования является линия, расположенная в плоскости.
Рассмотрение криволинейных интегралов значительно расширяет возможности приложения математического анализа к решению задач из механики, физики и техники.
Особенно большое значение криволинейные интегралы имеют в теории поля и в теории функций комплексных переменных.
При изучении данных интегралов нужно особое внимание обратить на конструкцию тех интегральных сумм, которые лежат в основе определения криволинейных интегралов, и на свойствах последних.
Важное место занимают также теоремы, связанные с вопросом о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Различают 2 типа криволинейных интегралов. Начнём с рассмотрения криволинейного интеграла, который строится по аналогии с обыкновенным определённым интегралом.
3.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные интегралы по длине дуги)
Решение некоторых физических задач, как, например, задачи о вычислении массы материальной линии, координат её центра тяжести и другие, приводит к необходимости введения криволинейного интеграла по длине дуги.
Рассмотрим следующую механическую задачу.
Задача 3.1.1 (задача о нахождении массы материальной линии)
Найти массу материальной дуги АВ, если линейная плотность её задана как некоторая непрерывная функция d = d(х,у) от координат х и у точки дуги АВ.
(Линия АВ может быть электрическим проводом или цепью, или канатом, где обычно пренебрегают толщиной тела по сравнению с его длиной).
Разобьём дугу АВ произвольным образом на n частей с помощью точек деления М1, М2,..., Мn-1, которые пронумерованы в направлении от А к В.
Длину дуги Мк-1Мк (М0 º А, Мn º B) обозначим через Dlk (k = 1,2,.., n):
È
Мк-1Мк = Dlk.
На каждой частичной дуге Мк-1Мк возьмём произвольно по точке Nk (xk; hk) и во взятых точках вычислим плотность распределения массы:
d = d (xk; hk).
Если предположить, что плотность во всех точках частичной дуги Мк-1Мк постоянна и равна её значению d(xk; hk) в точке Nk, то величина массы частичной дуги Мк-1Мк будет
Так как масса всей дуги АВ равна сумме масс её частичных дуг Мк-1Мк, то она выразится суммой
(3.1)
Поскольку в действительности плотность распределения массы на каждой частичной дуге, вообще говоря, не постоянна, то сумма (3.1) не может быть принята за массу дуги АВ.
Однако,если частичные дуги весьма малы, то в силу непрерывности функции d(х,у) значение плотности в различных точках какой-либо из этих дуг будет весьма мало отличаться от её значения в произвольно взятой точке (xk; hk) этой дуги и масса (3.1) будет имитировать искомую массу дуги, причём тем лучше, чем меньше длина частичных дуг.
Станем теперь неограниченно увеличивать число n делений дуги АВ и притом так, чтобы длины всех частичных дуг Мк-1Мк стремились к нулю.
Если при этом сумма (3.1) будет стремиться к определённому пределу m, не зависящему от способа разбиения дуги АВ на частичные дуги Мк-1Мк и от выбора точек Nk на соответствующих частичных дугах, то этот предел (исходя из указанных выше интуитивных соображений) мы и будем принимать за массу всей дуги АВ:
(3.2)
К нахождению пределов вида (3.2) приводит решение и многих других задач механики и математики.
Поэтому представляется естественным изучить эти суммы, отвлекаясь от конкретного смысла входящих в них переменных величин.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА ПЕРВОГО РОДА
Рассмотрим произвольную функцию f (x,y), определённую вдоль плоской дуги АВ.
Разобьём дугу АВ произвольным образом на n частей точками М1,М2,..., Мк-1, Мк,..., Mn-1.
На каждой частичной дуге возьмём также по произволу точку Nk (xk, hk) и, вычислив значение функции f(x,y) в каждой из этих точек, составим сумму:
, (3.3)
где Dlk – длина частичной дуги.
Она называется интегральной суммой для функции f(x,y), заданной на дуге АВ.
Будем неограниченно увеличивать число n точек деления дуги АВ, однако так, чтобы все Dlk стремились к нулю.
Определение.
Если при всех Dlk ®0 интегральная сумма (3.3) имеет конечный предел, не зависящий 1) ни от способа разбиения дуги АВ на частичные дуги Мк-1Мк, 2) ни от выбора точек Nk на частичных дугах, то этот предел называют криволинейным интегралом по длине дуги АВ от функции f(x,y) (или криволинейный интеграл I рода).
Криволинейный интеграл по длине дуги обозначается символом
