Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле 8 страница

 

 

1. Задание: Вычислить криволинейные интегралы первого рода от функции f(x,y,z) по длине дуги L, заданной параметрическими уравнениями.

; L: коническая винтовая линия x = t cos t, y = t sin t, z = t, 0 t 2

Ответы: 1) 2) 3) 4)

 

1. Задание: Вычислить криволинейные интегралы первого рода от функции f(x,y,z) по длине дуги L, заданной параметрическими уравнениями.

L: дуга кривой x = t cos t, y = t sin t, z = t, 0 t 2

Ответы: 1) 2) 3) 4)

 

Задание: Вычислить криволинейные интегралы первого рода от функции f(x,y,z) по длине дуги L, заданной параметрическими уравнениями.

; L: часть винтовой линии x = a cos t, y = a sin t, z = bt, 0 t 2

Ответы:1) 2) 3) 4)

 

Задание: Вычислить криволинейные интегралы первого рода от функции f(x,y,z) по длине дуги L, заданной параметрическими уравнениями.

f (x,y) = y ; L: x = a cos t, y = a sin t, 0 t

Ответы: 1) 2) 3) 4)

 

Задание: Вычислить криволинейные интегралы первого рода от функции f(x,y,z) по длине дуги L, заданной параметрическими уравнениями.

f (x,y) = xy; L: x = a cos t, y = b sin t, 0 t

Ответы: 1) 2) 3) 4)

 

 

Задание: Вычислить криволинейные интегралы первого рода от функции f(x,y,z) по длине дуги L, заданной параметрическими уравнениями.

f (x, y) = y ; L: x = a(t–sin t), y = a(1-cos t), 0 t

Ответы: 1) 2) 3) 4)

 

 

Задание: Вычислить криволинейные интегралы первого рода от функции f(x,y,z) по длине дуги L, заданной параметрическими уравнениями.

f(x, y) = ; L: x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t – t cost), 0 t 2

Ответы: 1) 2) 3) 4)

 

 

Задание: Вычислить криволинейные интегралы первого рода от функции f(x,y,z) по длине дуги L, заданной параметрическими уравнениями.

f(x,y) = 3x -y ; L: x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t – t cost), 0 t 2

Ответы: 1) 2) 3) 4)

 

 

Задание: Вычислить криволинейные интегралы первого рода от функции f(x,y,z) по длине дуги L, заданной параметрическими уравнениями.

f(x, y) = x ; L: x = a(t – t sin t), y = a(1 – cos t), 0 t 2

Ответы: 1) 2) 3)

4)

 

Задание: Вычислить криволинейные интегралы первого рода от функции f(x,y,z) по длине дуги L, заданной параметрическими уравнениями.

f(x,y) = xy L: x = ch t, y = ash t, 0 t t

Ответы: 1) 2) 3)

4)

 

Задание: Вычислить криволинейные интегралы первого рода от функции f(x,y,z) по длине дуги L, заданной параметрическими уравнениями.

f(x,y) = + ; L: x = a cos t, y = a sin t, 0 t 2

Ответы: 1) -1 2) 1 3) 2 4)0

 

 

Задание: Вычислить криволинейные интегралы первого рода от функции f(x,y,z) по длине дуги L, заданной параметрическими уравнениями.

f(x,y,z) = x + y + z; L: x = cos t, y = sin t, z = t, 0 t

Ответы: 1) 2) 3) 4)

 

 

Задание: Вычислить криволинейные интегралы первого рода от функции f(x,y,z) по длине дуги L, заданной параметрическими уравнениями.

f(x,y,z) = z; L: x = t cos t, y = t sin t, z = t, 0 t t

Ответы: 1) 2) 3) 4)

 

 

Задание: Вычислить криволинейные интегралы первого рода от функции f(x,y,z) по длине дуги L, заданной параметрическими уравнениями.

f(x,y,z) = ; L: x = t, y = , z = , 0 t 1

Ответы: 1) 2)

3) 4)

 

 

31. Задание: Вычислить криволинейный интеграл первого рода по длине дуги L,где L контур геометрической фигуры.

; L: контур параллелограмма с вершинами A(0,1), B(3,0), C(3,2), D(0,2)

Ответы: 1)24,5 2)34,5 3)40 4)42,5

 

 

32. Задание: Вычислить криволинейный интеграл первого рода по длине дуги L,где L контур геометрической фигуры.

; L: окружность x + y + z = a x + y + z = 0

Ответы: 1) 2) 3) 4)

 

33. Задание: Вычислить криволинейный интеграл первого рода по длине дуги L,где L контур геометрической фигуры.

; L: контур треугольника с вершинами A(0,0), B(1,0), C(0,1)

Ответы: 1) 2) 3) 4)

 

34. Задание: Вычислить криволинейный интеграл первого рода по длине дуги L,где L контур геометрической фигуры.

; L: контур треугольника с вершинами A(0,1), B(2,0), C(0,2)

Ответы: 1) 2) 3) 4)

 

 

1. Задание: Вычислить криволинейный интеграл вдоль ломанной L=ОАВ, где О (0;0), А (2;0), В (2;4).

Ответ: 1) 24 2) 12 3) 6 4) 48

 

 

1. Задание: Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L окружности , от т.А (5;0) до т. В (0;5)

Ответ: 1) 2) 3) 4)

 

1. Задание: Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L параболы от т.А (-1;1) до т. В (1;1)

Ответ: 1) 2) 3) 4) 8

 

 

1. Задание: Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L кривой от т.А (0;1) до т. В (-1;е)

Ответ: 1) е 2) 3) 2е 4)

 

 

1. Задание: Вычислить криволинейный интеграл вдоль парболы от т.А (0;0) до т. В (1;1)

Ответ: 1) 2) 3) 4)

 

 

1. Задание: Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L кривой от т.А (1;0) до т. В (е;1)

Ответ: 1) e 2) 2e 3) 4)

 

 

Ответы к тестам:

Номер задания

Номер ответа

 

 

 

 

4. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

4.1 Определение поверхностного интеграла I рода

Пусть в точках поверхности S гладкой (если в каждой её точке $ касательная плоскость и при переходе от точке к точке положение этой касательной плоскости меняется непрерывно) определена ограниченная функция f(M) = f (x,y,z)

 

Разобьём поверхность S произвольно на n частей с площадями DS₁, DS₂... DS_n. Выбрав на каждой частичной поверхности произвольную точку M_i (x_i, h_i, V_i), составим сумму

 

. (4.1)

 

Сумма называется интегральной суммой для функции f(M) по поверхности S. Пусть диаметры площадей DS_i, d₁... d_n, наибольший из всех диаметров обозначим через d.

 

Определение 4.1.1

Если интегральная сумма (4.1) при d®0 имеет предел, равный J,то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(x,y,z) по поверхности S и обозначается символом

 

(4.2)

 

Функция f(x,y,z) называется интегрируемой по поверхности S, S- область интегрирования.

Определение аналогично определению двойного интеграла, поэтому свойства двойных интегралов и условия $ переносятся на поверхностные интегралы.

Поверхностный интеграл не зависит от выбора стороны поверхности.

Если f(x,y,z) > 0 и её рассматривать как поверхностную плотность массы материальной поверхности, то (4.2) определяет массу этой поверхности.

 

4.2 Вычисления поверхностных интегралов I рода

Производится сведением поверхностного интеграла к двойному.

Пусть поверхность S задана уравнением

z = Z (x,y), где z вместе со своими производными Z¹_x (x,y) и Z¹_у (x,y) непрерывны в замкнутой области G, которая является проекцией S на плоскость хОу.

Пусть функция y = f(x,y,z) непрерывна на поверхности S и,следовательно, интегрируема по этой поверхности.

Разобъём поверхность S произвольно на n частей и спроектируем это разбиение на плоскость ОХУ. Получим соответственно разбиения областей G на G₁,G₂,...,G_n. Площадь DS_i каждой части поверхности может быть представлена в виде

 

.

 

Применяя к двойному интегралу теорему о среднем, можно получить, что:

 

,

 

где z = z(x,y). Переходя к пределу d ®0.

Подставляя в (4.2):

 

. (4.3)

 

Пример 4.2.1

Вычислить интеграл , где S- часть параболоида вращения Z = 1 – x² – y², отсечённого z = 0.

 

Решение.

Поверхность Z = 1 – x² – y² проектируется на плоскость ОХУ в область G, ограниченную окружностью х² + у² = 1.

Z¹_x = -2x, Z¹_y = -2y.

По формуле (4.3)

 

 

.

4.3 Поверхностные интегралы II рода

Возьмём на гладкой поверхности S произвольную точку М и проведём через неё нормаль к поверхности (M).

 

Рассмотрим на поверхности S какой-либо замкнутый контур, проходящий через т.М. Будем перемещать точку М по замкнутому контуру вместе с вектором так, чтобы он 1) всё время оставался нормальным к S, 2) и его направление менялось при этом перемещении непрерывно.

Если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S и не пересекающему её границы, при возвращении в исходную точку не меняет направления нормали к поверхности, то поверхность называется двусторонней.

Если же на поверхности S, $ замкнутый контур, при обходе которого направление нормали меняется после возвращения в исходную точку на противоположное, то поверхность называется односторонней.

Будем рассматривать только двусторонние поверхности.

Двустороннюю поверхность называют ориентируемой, одностороннюю – неориентируемой.

Пусть S – ориентируемая поверхность, ограниченная контуром L, не имеющим точек самопересечения. Будем считать положительное направление обхода то, при движении по которому наблюдатель, расположенный так, что направление нормали совпадает с направлением от ног к голове,оставляет поверхность слева от себя.

Противоположное направление обхода считается отрицательным.

Перейдём к определению поверхностного интеграла II рода.

Пусть S – гладкая поверхность Û Z = f(x,y) и R(x,y,z) – ограниченная функция, определённая в точках поверхности S.

Выберем одну из сторон поверхности. Если нормали составляют острые углы с осью Oz, то будем говорить, что выбрана верхняя сторона поверхности Z = f(x,y), если тупые, то нижняя.

Разобьём S на произвольные n части.

G_i - проекции i –части поверхности на ОХУ.

Выбрав на каждой частичной поверхности любую т.М_i (x_i, h_i, V_i), составим

 

, (4.4)

 

где DS_i – площадь G_i, взятая со знаком (+), если выбрана верхняя сторона поверхности S.

Уравнение (4.1) – интегральная сумма для функции R(M).

Обозначим через d максимальный из диаметров частей поверхности S.

Определение 4.3.1.

Если интегральная сумма (4.1) при d®0 имеет предел, равный J, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода от функции R(x,y,z) по выбранной стороне поверхности S и обозначается одним из следующих символов:

 

.

 

R(x,y,z) называется интегрируемой по поверхности S.

Сумму

 

 

называют общим поверхностным интегралом II рода и обозначают символом , (4.5)

 

который обладает теми же свойствами, что и поверхностный интеграл I рода. Отличается от него только тем, что при изменении стороны поверхности он меняет знак.

 

4.4 Вычисление поверхностного интеграла II рода

Пусть гладкая поверхность S задана уравнением z = z (x,y). Определена в замкнутой области G – проекции S на плоскость ОХУ. Рассмотрим на поверхности S.

 

R(x,y,z) – непрерывная функция.

Разобьём S произвольно на n частей G₁, G₂,...,G_n.

Выберем по произвольной точке М_i (x_i, h_i, V_i).

Составим интегральную сумму:

 

= ,