Однородный стержень охлаждается в среде с постоянной температурой Тж и при постоянном коэффициенте теплоотдачи a. В начальный момент времени t = 0 все точки стержня имеют одинаковую температуру. Данное тело можно рассматривать как результат пересечения двух пластин толщиной 2 dх и 2 dу (рис. 16).
Рис. 16 К охлаждению полуограниченного прямоугольного стержня
Безразмерное поле температур можно представить в виде:
,
где 
и 
.
Охлаждение цилиндра конечной длины
Рис. 17 К охлаждению цилиндра конечной длины
Такое тело можно рассматривать как результат пересечения безграничных цилиндра диаметром 2 r0 и пластины толщиной 2 dz (рис 17).
Тогда безразмерную температуру можно записать в виде:
или 
.
Лекция № 5 Стадии охлаждения (нагревания) тел
Анализ полученных решений для тел различной геометрической формы показывает, что они имеют одинаковую структуру, то есть представляют собой сумму бесконечного ряда, члены которого расположены по быстро убывающим экспоненциальным функциям. Например, для безграничной пластины при охлаждении её в среде с постоянной температурой и a = const поле температур определяется функцией
Здесь An – постоянный коэффициент, свой для каждого члена ряда (не зависит от координат и времени), он найден из начальных условий;
– функция только координаты х, его можно обозначить через Vn;
Экспонента будет убывать пропорционально времени t. Комплекс 
- постоянное вещественное положительное число.
Причем, для тел других геометрических форм температурное поле описывается уравнением такого же вида. Специфика геометрической формы учитывается различным видом множителей An и Vn.
При малых значениях t от t = 0 до t = t 1 распределение температуры внутри тела и скорость изменения во времени температуры в отдельных точках тела зависят от особенностей начального распределения температур. В этих условиях поле температур в теле будет определяться не только первым, но и последующими членами ряда.
Этот первый период охлаждения называется неупорядоченной стадией процесса охлаждения (нагревания).
Рис. 18 Охлаждение тела во времени
Начиная с некоторого момента времени t > t1 начальные условия начинают играть второстепенную роль и процесс полностью определяется только условиями охлаждения на границе тела и среды, физическими свойствами тела и его геометрической формой и размерами.
Температурное поле описывается первым членом ряда:
При этом избыточная температура не зависит от начального распределения температуры.
При длительном охлаждении (t ® ¥) все точки тела принимают одинаковую температуру, равную Т ж, то есть наступает стационарное состояние.
Таким образом, весь процесс охлаждения можно разделить на 3 стадии:
1) первая стадия неупорядоченного режима характеризуется большим влиянием начального распределения температуры;
2) вторая стадия охлаждения называется регулярным режимом;
3) третья стадия охлаждения соответствует стационарному режиму, когда температура во всех точках тела равна температуре окружающей среды.
Эти особенности следует учитывать при постановке и решении задач теплопроводности.
Приближенные методы решения задач теплопроводности
Приближенные методы решения задач применяются в случае, когда точные аналитические метода расчета затруднительны. Например, при решении задач теплопроводности для тел сложной формы, с внутренними источниками тепла, при сложных условиях теплообмена с окружающей средой.
Метод конечных разностей
Аналитические решения, полученные путем непосредственно интегрирования дифференциальных уравнений, дают возможность вычислить температуру в любой точке данной системы. В противоположность этому в основу численных методов вычисляется температура в некоторых, заранее выбранных точках данной системы. Следует отметить, что если получение точного аналитического решения связано с трудностью удовлетворения граничных условий, то при помощи численных методов всегда возможно, по крайней мере, приближенно, удовлетворить граничным условиям конкретной задачи.
Из численных методов широко используется метод конечных разностей (метод сеток).
Ограниченность численных методов по сравнению с аналитическими состоит в том, что в первом случае решается только одна конкретная задача и любое изменение параметров требует нового решения.
В методе конечных разностей область непрерывного изменения аргументов x, y, z, t заменяется сеткой – конечным (дискретным) множеством точек, называемых узлами. Разности значений одних и тех же аргументов для двух смежных узлов Dx, Dy, Dz, Dt называется шагами изменения этих аргументов.
Дифференциальное уравнение теплопроводности заменяется на сетке разностной схемой или уравнением в конечных разностях. После того, как и краевые условия тоже заменены разностными схемами, получаем систему алгебраических уравнений в конечных разностях с числом неизвестных (температур), равным числу узлов сетки (уравнений).
Важнейшие свойства разностных схем: аппроксимируемость, устойчивость и сходимость.
Аппроксимируемость схемы означает, что при стремлении к нулю шагов аргументов решение системы алгебраических уравнений стремиться к решению исходного дифференциальное уравнения при заданных краевых условиях.
Устойчивой называют такую схему, для которой ошибки округления. Неизбежные при всяком счете, при уменьшении шагов аргументов (сгущение сетки) не приводят к большим искажениям решения. В противном случае схема называется неустойчивой.
Сходимость схемы означает, что при сгущение сетки решение системы алгебраических уравнений приближается (сходиться) к решению дифференциальное уравнения при заданных краевых условиях. Сходимость – следствие одновременных аппроксимируемости и устойчивости.
Рассмотрим метод конечных разностей (МКР) для решения уравнения двумерной стационарной теплопроводности в изотропном материале без источников теплоты. Уравнение имеет вид:
(1)
Рис. 19 Сетка узловых точек
На теплопроводящую пластинку нанесена сетка. Температуры в точке 0 и узлах сетки 1, 2, 3, 4 обозначим соответственно Т 0, Т 1, Т 2, Т 3, Т 4.
Градиент температур в направлении оси х для точки 01 можно записать в виде:
,
где члены высшего порядка малости не учитываются. Точность такого равенства возрастает с уменьшением Dх.
Аналогично для точки 0²:
,
Теперь можно определить вторую производную в направлении оси х для точки 0:
.
Таким же образом можно определить 2-ую производную в направлении оси у для точки 0:
.
Подставляя полученные выражения в уравнения (1) и при условии Dх = Dу = D, получим разностную схему:
или
Т1 + Т2 + Т3 + Т4 - 4Т0 = 0, (2)
.
Аналогичные уравнения можно записать для каждого узла.
Из уравнения (2) следует, что температура в любом узле плоской стенки есть среднее арифметическое температур в соседних четырех узлах сетки. Это условие положено в основу одного из методов численного решения задач теплопроводности, который называется релаксационным.
Этот метод состоит в следующем. В узлах сетки записываются ожидаемые, но произвольно выбранные температуры. В общем случае они не будут удовлетворять условию (2). Если Т0 окажется больше среднего арифметического температур Т1, Т2, Т3, Т4, то это значит, что в точке 0 находится источник теплоты, если меньше, то сток теплоты. В этих случаях разностная схема примет вид:
Т1 + Т2 + Т3 + Т4 - 4Т0 = R0, (3а)
где 
- остаток для точки 0, (3)
где qv – объемная плотность теплового потока в точке 0.
Для всех узлов сетки найдем остаток по уравнения (3). Там, где остаток окажется наибольшим по абсолютной величине, значения температуры выбраны наименее удачно. То есть они больше, чем во всех узлах отличаются от действительных.
Пусть в точке 0 величина R наибольшая. Тогда наибольший остаток делят на 4 и добавляют ¼ R0 к остаткам соседних четырех точек, а температуру узла, где находился наибольший остаток, увеличивают на ¼ первоначального остатка. Из уравнения (3а) видно, что теперь остаток в узле 0 станет равным нулю:
Т1 + Т2 + Т3 + Т4 – 4Т¢0 = 0,
где Т¢0 = Т0 + ¼ R0.
Остатки в точках 1, 2, 3, 4 увеличиваются на ¼ R0, например, в точке 1:
R¢1 = R1 + ¼ R0.
Далее все операции нужно повторить для следующего узла с небольшим остатком. Этот процесс следует продолжать до тех пор, пока все остатки внутренних узлов сетки обратятся в нуль или будут пренебрежимо малыми. Результирующие температуры в узлах сетки составят искомое решение. То есть время, затрачиваемое на решение задачи, будет тем меньше, чем удачнее выбраны ожидаемые температуры в узлах сетки.
Выбор этих температур проводят следующим образом. Вначале наносят сетку с крупными ячейками и малым числом узлов. После решения задачи для крупной сетки уменьшают размеры ячеек, а найденные в предыдущем расчете температуры используются для нахождения температуры в узлах второй более мелкой сетки. Продолжая этот процесс, можно достаточно точно и быстро определить температуры в узлах сетки.
Условие (2) можно распространить на случай 3-х мерного температурного поля, для которого оно имеет вид:
Т1 + Т2 + Т3 + Т4 + Т5 + Т6 – 6Т0 = 0
Метод релаксации обычно используется для предварительной оценки температурного поля. Этот метод применяется для решения системы разностных уравнений вручную, а на ЭВМ он трудно осуществим, так как на них быстрее и дешевле работать с уравнениями в циклическом порядке. Чем искать наибольшие остатки. Поэтому для решения больших температурных полей целесообразно использовать итерационные методы решения системы разностных уравнений, например метод Зейделя.
Следует отметить, что не всегда измельчение сетки приводит при численном методе к уточнению стационарного температурного поля.
Для конкретной задачи метод может оказаться неустойчивым, то есть при измельчение сетки будет давать решение, все более отличающееся от истинного.
Численные методы решения задач теплопроводности при нестационарном режиме
Для решения нестационарных задач численным методом из дифференциального уравнения теплопроводности
(1)
следует получить для каждого узла сетки уравнения в конечных разностях в виде:
,
где Т0 – температура в точке 0 в момент t; Т¢0 – температура в точке 0 через время Dt.
Тогда уравнение в конечных разностях:
если Dх = Dу = Dz = D, то
.
Откуда:
Эта формула позволяет по известной температуре Т0 в данный момент времени t и в данной точке 0 и температурам Т1,… Т6 в момент t найти неизвестную температуру Т¢0 в точке 0, но в следующий момент времени t + Dt.
Подбирая определенным образом шаг D и Dt, можно добиться устойчивости решения.
Лекция № 6
Метод конечных элементов
Решение задач теплопроводности может быть получено ещё одним численным методом – методом конечных элементов (МКЭ). Преимущества: математической основой метода является вариационное исчисление. В отличие от МКР, в котором исходные дифференциальное уравнения непосредственно используются для построения разностных схем, в МКЭ дифференциальное уравнение теплопроводности и соответствующие граничные условия используются для постановки вариационной задачи, которая затем решается численно. Этот метод нашел весьма широкое распространение благодаря своей универсальности. С его помощью решают не только задачи теплопроводности, но и рассчитывают конструкции на прочность, решают задачи электродинамики, гидравлики и т.д. Широко используют МКЭ в системе САПР.
Рассмотрим основы МКЭ. Пусть требуется найти стационарное распределение температуры Т(х, у) в двумерной области G с границей S. Для изотропного материала и при учете внутренних источников теплоты математическая постановка задачи в дифференциальной форме имеет вид: S a; T¥
. (1)
Граничное условие на границе S:
, (2)
где l - коэффициент теплопроводности; qv – объемное тепловыделение; Q – поверхностная плотность теплового потока; a - коэффициент теплоотдачи; T¥ - температура окружающей среды.
В вариационном исчислении установлено, что решение Т(х, у), удовлетворяющее условиям (1) и (2) совпадает с функцией Т(х, у), которая минимизирует функционал
,(3)
где G – рассматриваемая область; S – наружная поверхность, в которой имеет место теплоотдача; Т(х, у) – функция из допустимого множества пробных функций. Для задач теплопроводности пробные функции Т(х, у) является допустимыми, если они непрерывны и имеют кусочно-прерывные производные. Кроме того, пробные функции должны удовлетворять главным граничным условиям (2).
Таким образом, функционал (3) является эквивалентной вариационной постановкой исходной задачи (1) – (2).
Основными этапами решения данной задачи с помощью МКЭ является следующее: 1) Вначале область решения разбивается на конечное число подобластей, называемых конечными элементами. Выбор размеров и формы элементов в общем случае произволен. Элементы для плоского тела обычно имеют треугольную или четырехугольную форму. 2) Разбиение области решения на конечные элементы и условия непрерывности, накладываемые на пробные функции, позволяют записать функционал (3) в виде суммы функционалов по элементам
, (4)
где Ji – функционал вида (3) для i – го конечного элемента; к
n – число конечных элементов.
3). На каждом конечном элементе температура Т(х, у) аппроксимируется пробной i j
функцией Т(х, у). В качестве пробных функций обычно выбираются полиномы различных степеней. Например, температуру в элементе можно выразить в виде (линейно зависит от координат):
,
где Ti, Tj, Tk – температуры в узлах треугольного элемента; Ni, Nj, Nk – функции формы, зависящие от координат узлов.
Значение температуры в узлах сетки являются искомыми, поэтому для получения приближенного решения задачи необходимо «отрегулировать» эти значения температур таким образом, чтобы обеспечить минимум функционала (4). Условием минимума функционала является равенство нулю первых производных от него по температурам во всех узлах сетки
,
где 
.
В результате дифференцирования по всем неизвестным температурам получается система линейных алгебраических уравнений. В матричной форме она имеет вид
,
где 
и 
- матрица теплопроводности зависит от n и вектор нагрузки элемента (зависит от Q, qv и граничных условий); 
- вектор узловых температур.
Последующее решение этой системы уравнений с помощью ЭВМ дает приближенное решение исходной задачи.
К достоинствам МКЭ относится простота аппроксимации тел со сложной геометрической формой и сложными граничными условиями.
Недостатком можно считать относительную сложность программирования для ЭВМ и применение ЭВМ с большим объемом оперативной памяти.
Лекция № 6
