Комплекс краевых, физических и геометрических условий к уравнению теплопроводности

Для полного математического описания процесса кроме уравнения теплопроводности необходимы условия однозначности:

- геометрические условия;

- физические условия (l, с, r, q_v,…);

- временные (начальные) условия Т = f(x, y, z) при t = 0;

- граничные условия – характеризуют условия взаимодействия с окружающей средой.

Граничные условия:

1-го рода - задается распределение температур на поверхности

T_c = f (x, y, z, t).

2-го рода - задается значения теплового потока на поверхности. Пример - пленка резистора.

q_п = f (x, y, z, t) или q_п = const.

3-го рода – задается температура жидкой среды и закон теплообмена между поверхностью и окружающей средой (закон Ньютона – Рихмана).

q = a(Т_с – Т_ж),

где a - коэффициент теплоотдачи (в общем случае зависит от температуры)

a(Т_с – Т_ж) = -l(¶Т/¶n)_с

или - (¶Т/¶n)_с = a/l(Т_с – Т_ж) – частный случай закона сохранения энергии

4-го рода – условия сопряженности – условия равенства температур и тепловых потоков по обе стороны от границы раздела.

l₁(¶T₁/¶n)_г = l₂(¶T₂/¶n)_г + q_s(x_г, y_г, z_г, t),

t₁ (x_г, y_г, z_г, t) = t₂ (x_г, y_г, z_г, t),

где q_s – источник теплоты на поверхности границы

Поставленная таким образом задача решается аналитически, численно или экспериментально.

Теплопроводность в стационарном режиме

При установившемся (стационарном) тепловом режиме температура тела во времени остается постоянной. Если внутренние источники теплоты отсутствует, то:

.

Рассмотрим теплопроводность в телах простейшей формы.

Плоская стенка (q_v = 0). Граничные условия 1-го рода

Так как d_x << d_y (d_z), то теплоотводом по у и z пренебрегаем.

Дифференциальное уравнение:

.

Граничные условия:

при х = 0 Т = Т_с1

при х = d Т = Т_с2

Нужно определить: поле температур и q.

Рис. 3 Однородная плоская стенка

 

Закон распределения температуры по толщине стенки (рис. 3) находится после двойного интегрирования:

.

Температура в данном случае изменяется по линейному закону.

Постоянные интегрирования с₁ и с₂ определяются из граничных условий:

с₂ = Т_с1, с₁ = Т_с2/d.

.

Плотность теплового потока выразится:

.

Термическое сопротивление стенки:

R_т =l/d.

Многослойная стенка

Складываем левую и правую части уравнений.

Таким образом, для любой многослойной стенки, температурный напор можно определить:

.

Тепловой поток, проходящий через многослойную стенку:

,

где – полное термическое сопротивление многослойной стенки.

Переменный коэффициент теплопроводности

Пусть для плоской стенки l = l₀(1 + bТ),

где l₀ – значение коэффициента теплопроводности при 0°С.

На основании закона Фурье

. (а)

Разделяя переменные и интегрируя в пределах от х = 0 до х = d в интервале температур от Т_с1 до Т_с2, получаем:

.

Среднеинтегральное значение коэффициента теплопроводности:

.

Тогда, плотность теплового потока выразится:

.

Интегрируя (а) в пределах от х = 0 до любой координаты х и в интервале температур от Т_с1 до Т, получаем:

Температура изменяется по кривой:

.

 

Плоская стенка (q_v = 0). Граничные условия третьего рода (теплопередача)

Передача тепла из одной подвижной среды (жидкости или газа) к другой через разделяющую их однородную или многослойную твердую стенку любой формы называется теплопередачей.

Теплопередача включает в себя теплоотдачу от более горячей жидкости к стенке, теплопроводность в стенке, теплоотдачу от стенки к более холодной подвижной среде.

 

Рис. 4 Теплопередача через плоскую стенку

 

На рис. 4 показана - плоская стенка толщиной d; Т_ж1 и Т_ж2 - температуры окружающей среды; a₁ и a₂ - коэффициенты теплоотдачи (постоянные). Температура изменения только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки.

Необходимо найти: тепловой поток от горячей жидкости к холодной и температуры на поверхностях стенки.

Плотность теплового потока от горячей жидкости к стенке определяется уравнением:

. (1)

При стационарном режиме тот же тепловой поток пройдет путем теплопроводности через твердую стенку:

. (2)

Тот же тепловой поток передается от второй поверхности стенки к холодной жидкости за счет теплоотдачи:

. (3)

Эти уравнения можно написать в виде:

.

Отсюда плотность теплового потока, Вт/м²:

.

Коэффициент теплопередачи, Вт/(м² К):

.

Он характеризует интенсивность передачи теплоты от одной жидкости к другой через разделяющую их стенку.

Термическое сопротивление теплопередачи:

.

Плотность теплового потока выразится:

.

Тепловой поток:

.

Температуры поверхностей однородной стенки можно найти из уравнений (1), (2), (3):

;

или

.

(аналогично с электрическим током и напряжением)

Цилиндрическая стенка (q_v = 0)

Уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах:

Рис. 5 Теплопроводность цилиндрической стенки

 

Найти: 1) распределение температур; 2) тепловой поток

Уравнение теплопроводности:

.

Граничные условия 1-го рода:

при r = r₁ Т = Т_с1;

при r = r₂ Т = Т_с2.

Введем новую переменную Þ

Þ

Интегрируем:

Þ .

Потенцируя и переходя к первоначальной переменной

Þ .

После интегрирования получаем:

.

Из граничных условий находим постоянные интегрирования:

; .

Уравнение температурного поля:

.

Плотность теплового потока зависит от радиуса (гиперболическая кривая) (рис. 5):

.

Тепловой поток не зависит от радиуса, так как:

,

где - площадь боковой поверхности цилиндра.

Линейная плотность теплового потока:

.

Термическое сопротивление цилиндрической стенки:

При линейна плотность теплового потока выразится, как:

,

где .

Температурное поле находим из уравнения закона Фурье.

(разделяем переменные и интегрируем от r = r₁ до r и от Т = Т_с1 до Т).

 

.

Цилиндрическая стенка (q_v = 0). Граничные условия третьего рода (теплопередача).

Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку (трубку) с постоянным коэффициентом теплопроводности l (рис. 6).

Необходимо найти: q_l и Т_с1

Предполагаем, что длина трубы велика по сравнению с толщиной стенки. Тогда потерями теплоты с торцов трубы можно пренебречь. При установившемся тепловом режиме количество теплоты, которое будет передаваться от горячей среды к поверхности стенки, проходить через стенку и отдаваться от стенки к холодной жидкости, будет одно и то же.

Рис. 6 Теплопередача через однородную цилиндрическую стенку

 

Тепловой поток при теплопередаче через цилиндрическую стенку можно выразить:

Выразим температурные напоры:

Складывая уравнения, получаем температурный напор:

.

Откуда линейная плотность теплового потока находится:

.

Линейный коэффициент теплопередачи:

, Вт/(м∙К)

Линейная плотность теплового потока:

.

Линейное термическое сопротивление:

.

Отметим, что линейное термическое сопротивление зависит не только от коэффициентов теплоотдачи a₁, a₂, но и от соответствующих диаметров.

Критический диаметр цилиндрической стенки

Рассмотрим влияние изменения наружного диаметра на термическое сопротивление однородной цилиндрической стенки

_.

При постоянных значениях a₁, d₁, a₂, l полное термическое сопротивление теплопередачи цилиндрической стенки будет зависеть от внешнего диаметра d₂.

Причем термическое сопротивление теплопроводности с увеличением d₂ будет возрастать, а термическое сопротивление теплоотдачи будет уменьшаться (рис. 7).

Для того чтобы выяснить, как будет изменяться R_l при изменении толщины цилиндрической стенки, исследуем R_l как функцию d₂.

Возьмем производную от R_l по d₂ и приравняем нулю:

.

Откуда:

.

При данном значении диаметра термическое сопротивление теплопередачи будет минимальным.

Рис. 7 Зависимость термического сопротивления цилиндрической стенки от d₂

 

Значение внешнего диаметра трубы, соответствующего минимальному полному термическому сопротивлению теплопередачи, называется критическим диаметром

.

Эти соображения необходимо учитывать при выборе тепловой изоляции цилиндрических аппаратов и трубопроводов. При d₂ < d_кр с увеличением d₂ полное термическое сопротивление теплопередачи снижается, так как увеличение d₂ наружной поверхности оказывает на термическое сопротивление большее влияние, чем увеличение толщины стенки. То есть в этом случае дополнительная теплоизоляция может увеличить потери тепла.

Передача теплоты через шаровую стенку

Пусть имеется полный шар с радиусами r₁ и r₂, постоянным коэффициентом теплопроводности l и заданными равномерно распределенными температурами поверхностей T_с1 и T_с2 (рис. 8).

Уравнение Лапласа в сферической системе координат имеет вид:

.

Рис. 8 Теплопроводность однородной шаровой стенки

 

В данном случае Т не зависит от q и y:

. (1)

Пусть заданы граничные условия 1-го рода:

при r = r₁ T = T₁;

при r = r ₂ T = T₂.

Необходимо найти: распределение температуры по толщине сферической стенки.

Представим уравнение (1) в форме

. (2)

После 1-го интегрирования (2) получим

или .

После 2-го интегрирования:

.

Используя граничные условия, найдем с₁ и с₂:

; при r = r₁;

; при r = r₂.

Решая эти уравнения относительно с₁ и c₂, получим:

;

.

Температурное поле:

.

Температура Т(r) изменяется по толщине стенки по гиперболе.