Теплопроводность при наличии внутренних источников теплоты

В рассматриваемых ранее задачах внутренние источники теплоты отсутствовали. Однако в ряде случаев внутри объектов исследования могут протекать процессы, в результате которых будет выделяться или поглощаться теплота. Примерами таких процессов могут служить: выделение джоулевой теплоты при прохождении электрического тока P = I²R; диэлектрические потери в диэлектриках P_g = cwu² tgd, находящихся в электрическом поле; выделение или поглощение теплоты при протекании химических реакций.

При исследовании переноса теплоты в таких случаях важно знать интенсивность объемного выделения (поглощения) теплоты, которая количественно характеризуется мощностью внутренних источников теплоты q_v, Вт/м³. Если величина q_v > 0, то говорят, что в теле имеются положительные источники теплоты. При q_v < 0 имеются отрицательные источники (стоки) теплоты.

Теплопроводность однородной пластины

Рассмотрим длинную пластину толщиной 2 d. Источники тепла равномерно распределены по объему и равны q_v = const. Условия охлаждения с обеих сторон пластины одинаковые (T_ж = const, a = const). При указанных условиях температура пластины будет изменяться только вдоль оси х (рис. 9).

Рис. 9 Теплопроводность пластины при наличии внутренних источников тепла

 

Необходимо найти: распределение температур в пластине и количество теплоты, отданное в окружающую среду.

Дифференциальное уравнение принимает вид:

. (1)

Граничные условия:

при х = ± d ; (2)

при х = 0 . (3)

В силу симметрии поля температур относительно плоскости х = 0 рассматриваем только половину пластины.

После интегрирования (1) получим:

; (4)

.(5)

Температурная зависимость по толщине пластины имеет вид параболы.

Постоянные с₁ и с₂ определяются из граничных условий.

При х = 0 из выражения (2) находим c₁ = 0.

При х = d из выражения (4) находим и подставляем в (2):

,

откуда:

.

Тогда из (5) можно найти с₂:

Þ .

Уравнение температурного поля примет вид:

.(6)

В данной задаче (в отличие от аналогичной без тепловыделения) тепловой поток изменяется вдоль оси х (см. уравнение (4)):

.

При х = 0 и q = 0. При х=d:

.

Общее количество теплоты, отдаваемое всей поверхностью в единицу времени (вся поверхность F равна двум боковым поверхностям F₁):

.

Из уравнения (5) следует, что температура в плоской стенке в случае симметричной задачи распределяется по параболическому закону.

Теплопроводность однородного цилиндрического стержня

 

Рассмотрим круглый цилиндр, радиус которого мал по сравнению с длиной цилиндра. При этих условиях температура будет изменяться только вдоль радиуса r (рис. 10). Внутренние источники теплоты равномерно распределены по объему стержня.

 

Рис. 10 Теплопроводность однородного цилиндрического стержня при наличии внутренних источников тепла

 

Как и для пластины, задача будет одномерной и симметричной.

Уравнение имеет вид:

. (1)

 

Граничные условия:

при r = 0 ;

при r = r₀ .

Необходимо найти: уравнение температурного поля и тепловой поток.

Проведем замену переменных , тогда уравнение (1) примет вид:

(2)

Умножим выражение (2) на rdr и получим:

. (3)

Первые два слагаемых выражения (3) являются:

.

Тогда выражение (3) можно представить в виде:

.

 

 

После интегрирования получим:

. (4)

Разделим выражение на r, получим:

.

Вернувшись к замене, получим:

. (5)

После второго интегрирования получим:

. (6)

Определим с₁ и с₂ из граничных условий.

При r = 0 находим из (5), что с₁ = 0.

При r = r₀ находим из (5), что и подставляем в граничные условия:

.

Откуда:

.

Из (6) находим с₂:

;

.

Уравнение температурного поля:

.

Распределение температуры в круглом стержне подчиняется параболическому закону.

Плотность теплового потока на поверхности цилиндра:

.

Полный тепловой поток:

.

 

Лекция № 4