Повторные независимые испытания

Формула Бернулли. В теории вероятностей любое случайное событие рассматривается как результат некоторого опыта. Если один и тот же опыт повторять неоднократно, то можно сказать, что проведено n повторных опытов или испытаний, в каждом из которых случайное событие А может появиться или не появиться.

Определение 12.1. Если вероятность появления случайного события А в каждом отдельном испытании не зависит от исхода других, то испытания называются независимыми.

В теории вероятностей, особенно при практическом ее применении, часто приходится решать задачи, связанные с повторными независимыми испытаниями. В подобных задачах нужно уметь определять вероятность: любого заданного числа k появления события А в результате серии n независимых повторных испытаний.

Определение 12.2. Серия из n независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А имеет одну и ту же вероятность Р(А)=p, независимо от номера испытания, называется схемой Бернулли, или схемой повторных испытаний.

Якоб Бернулли (1654–1705) – швейцарский ученый, профессор Базельского университета. Дадим математическую формулировку задачи, возникающей в схеме Бернулли.

Пример 12.1. Проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться или не появиться. Вероятность появления события А в каждом единичном испытании постоянна и равна p, а вероятность непоявления q=1-p. Найти вероятность того, что в этих n испытаниях событие А появится ровно k раз.

Ситуация, возникающая в схеме Бернулли, является весьма жизненной и потому исследование этой схемы в первую очередь привлекло внимание математиков, т.к. в последнее время повышено внимание к контролю качества выпускаемой продукции.

Теорема 12.1 (Бернулли). Вероятность сложного события, состоящего в том, что при n испытаниях, соответствующих схеме Бернулли, событие А, имеющее одну и ту же вероятность Р(А)=p для каждого отдельного испытания, появится ровно k раз, где 0 k n, безразлично в какой последовательности, её можно вычислить по формуле

Доказательство. Элементарными исходами испытаний являются: событие А_i – появление события А в i испытании: i=1,2,…,n; событие _i – непоявление события А в i-м испытании, где i=1,2,…,n. Значит Р(А_i)=p; Р( i)=1-p=q.

Пусть событие А имело место в первых k испытаниях и не произошло в (n-k) последующих, т.е. по определению произведения событий произошло сложное событие В:

Так как испытания независимые, то применяя теорему умножения вероятностей, получим

.

Появления события А ровно k раз и события ровно (n-k) раз с такой же вероятностью возможно и в любой другой последовательности. Число способов появления сложного события, состоящего в появлении событияименно k раз, инепоявлении (n-k) раз, равно числу всевозможных выборок из n элементов по k в каждой, отличающихся только составом элементов, т.е. С . Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим

Р_n(k)= p^k·q^n-k+ p^k·q^n-k+…+ p^k·q^n-k = С p^k·q^n-k.

	С