Формула полной вероятности, формула Байеса

 

Теорема 11.1. Вероятность события А, которое может произойти при условии появления одного из n попарно несовместных событий В₁; В₂; …; В_n (обычно называемых гипотезами), образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

–формула полной вероятности.

 

Доказательство. Пусть требуется найти вероятность события А, которое происходит вместе с одним из независимых событий В₁;В₂;…;В_n-1;B_n (рис. 11.1).

 

			А
Е	А ∩ В1	А ∩ В2	А ∩ В3	…	А ∩ Вn-1	А ∩ Вn
	В1	В2	В3	…	Вn-1	Вn

 

Рис. 11.1

 

Значит, произошло одно из несовместных событий: А ∩ В₁; А ∩ В₂; …; А ∩ В_n, а это значит, что А=(А ∩ В₁) U (А ∩ В₁) U… U (А ∩ В_n). Тогда

 

Р(А)=Р(В₁)·Р(А/В₁)+Р(В₂)·Р(А/В₂)+…+Р(В_n)·Р(А/В_n).

 

Пример 11.1. В лаборатории три клетки. В I клетке содержатся 2 коричневые и 3 белые мыши; во II – 4 коричневые и 2 белые; в III клетке – 5 коричневые и 5 белые. Случайным образом выбирают клетку и из нее берут одну мышь. Какова вероятность, что мышь белая?

Испытание: выбирают клетку и из нее берут одну мышь (рис. 11.2).

 

Событие А – выбранная мышь белая.

В2

II

Событие В₁ – выбрана I клетка.

В3

Событие В₂ – выбрана II клетка.

III

Событие В₃ – выбрана III клетка.

 

 

Рис. 11.2

 

Р(А)=Р(В₁)·Р(А/В₁)+Р(В₂)·Р(А/В₂)+Р(В₃)·Р(А/В₃);

 

Р(В₁)= Р(В₂)= Р(В₃)= .

 

Р(А)=

 

Ответ. Вероятность случайного события «выбрана белая мышь» равна 0,478.

Формула Байеса (формула переоценки вероятности гипотез). На практике часто приходится производить переоценку тех или иных первоначальных гипотез. Например, врач, осмотревший больного, сделал предположение о наличии нескольких заболеваний. Получив результаты анализов, он делает переоценку первоначальных гипотез. Некоторые первоначальные гипотезы отбрасываются, и ставится окончательный диагноз.

Математически рассматриваемая схема совпадает с той, которая была принята для случая полной вероятности. Однако теперь необходимо сделать переоценку вероятностей исходных событий, т.е. гипотез после того, как в испытании произошло некоторое событие А.

 

Теорема 11.2. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события.

,

 

где i=1; 2; 3; …; (n-1); n.

 

Доказательство. По теореме умножения вероятностей зависимых событий:

 

.

 

Эта формула из уважения к заслугам английского математика Томаса Байеса (1702–1761) названа его именем, хотя он ее не выводил, но у него имеется ряд интересных работ по теории вероятностей.

Особенно широко она применяется при решении задач, связанных с вероятностной оценкой гипотез B_i, при условии, что событие А произошло. Пусть имеется полная группа несовместных гипотез В₁; В₂; …; В_n, вероятности которых P(В_i) известны до опыта. Проводится опыт, в результате которого зарегистрировано появление события А, причем известно, что этому событию гипотезы приписывали определенные условные вероятности Р(А/В_i). Каковы будут вероятности этих гипотез после опыта? То есть, имея новую информацию о том, что событие А произошло, нужно переоценить вероятности исходных гипотез, т.е. определить условные вероятности Р(В_i/А).

 

Вероятность появления хотя бы одного события. В жизни, науке, производстве часто возникают такие ситуации, когда нужно вычислить вероятность появления хотя бы одного события из некоторого набора возможных событий. Например, если Вы купили несколько лотерейных билетов, то Вас интересует вероятность того, что хотя бы один из них окажется выигрышным. Если по цели противника сделан залп из нескольких орудий, то интересует вероятность того, что цель будет поражена, т.е. хотя бы один снаряд попадет в цель.

Пусть имеется n независимых событий А₁; А₂; …; А_n, причем известны вероятности появления каждого из этих событий P(А₁); P(А₂); …; P(А_n). Требуется определить вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий, т.е.

 

P(А)=P(А₁+А₂+…+А_n)=P(A₁UA₂U…UA_n).

 

Событие – непоявление каждого из событий A_i. Тогда событие можно выразить через исходные события, т.е. = ₁∩ ₂∩…∩ _n. Так как А и – полная группа событий Þ P(А+ )=1 Þ А и – несовместные события Þ P(А+ )=P(А)+P()=1 Þ P(А)=1-P()Þ P()=1-P(А). Значит,

 

P(А)=1-P()=1-P( ₁∩ ₂∩…∩ _n)=1-P( ₁) P( ₂) … P( _n).

 

На практике часто встречаются случаи, когда вероятности исходных событий равны между собой, т.е. P(А₁)=P(А₂)=…=P(А_n)=p; q=1-p Þ P(A)=1-qⁿ.