Генеральная совокупность и выборки

Определение 9.1. Генеральная совокупность без повторений – это набор некоторого конечного числа различных элементов а₁; а₂; …; а_n_-1; а_n.

Примером генеральной совокупности может служить студенческая группа из n человек.

Определение 9.2. Выборкой объема m, где m £ n, называется произвольная группа из m элементов данной генеральной совокупности объема n.

Примером такой выборки является группа из m человек данной генеральной совокупности, изучающая английский или немецкий язык.

Каким минимальным признаком может отличаться одна выборка объема m от другой выборки такого же объема? Это их различие по крайней мере одним элементом или порядком расположения этих элементов.

Определение 9.3. Произведение натурального ряда чисел от 1 до n включительно называется факториалом числа n, т.е.

1·2·3·…·(n-1)·n=n!, причем принято считать 0!=1.

Определение 9.4. Размещениями без повторений из n элементов по m называются такие выборки, которые, имея по m элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения и обозначаются А .

Выведем формулу вычисления числа размещений . Пусть имеем n элементов. Первый элемент можно выбрать n способами. Второй элемент будем выбирать из оставшихся (n-1) элементов, поэтому второй элемент можно выбрать (n-1)способами. Тогда пары двух элементов можно образовать n·(n-1) способами. Третий элемент придется отбирать из оставшихся (n-2) элементов. Это можно сделать (n-2) способами. Тогда тройки элементов можно образовать n·(n-1)·(n-2) способами и так далее. Размещения по m элементов можно образовать

n·(n-1)·(n-2)·…·(n-(m-1))=n·(n-1)·(n-2)·…·(n-m+1) способами.

Значит

А =n·(n-1)·(n-2)·…·(n-m+1) (1)

Если правую часть этого равенства умножим и разделим на произведение 1·2·3·(n-m-1)·(n-m), то получим равенство:

(2)

Это две формулы для вычисления числа размещений из n по m элементов в каждом, но вторая формула более удобна для запоминания.

В случае, когда m=n, одно размещение от другого отличается только порядком расположения элементов.

Определение 9.5. Перестановками без повторений из n элементов называются такие выборки из n элементов по n в каждой, которые содержат все n элементов и отличаются друг от друга только порядком расположения элементов и обозначаются

Формула для вычисления числа перестановок из n элементов имеет вид

Р_n=1·2·3·…·(n-2)·(n-1)·n=n!.

Определение 9.6. Сочетаниями без повторений из n элементов по m называются такие выборки, которые, имея по m элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, отличающихся друг от друга хотя бы одним элементом, т.е. составом элементов, и обозначаются С .

При m=n C =1.

В каждом из С сочетаний имеется m различных элементов, поэтому для каждого сочетания можно получить Р_m перестановок. Совокупность всех выборок, полученных путем построения всех перестановок на базе каждого из С сочетаний, представляет собой число размещений А , т.е.

С ·Р_m=А ,

откуда

– это формула для вычисления числа сочетаний из n элементов по m элементов в каждом.

Одним из примеров размещений без повторений является совокупность трехзначных номеров, в каждом из которых нет повторения цифр.

Примером перестановок без повторений является совокупность всех десятизначных номеров, в каждом из которых нет повторения цифр.

Примером сочетаний без повторений являются всевозможные варианты состава делегации в количестве, например, трех человек от коллектива, в котором 10 человек.

Таким образом имеем (рис. 9.1):

Рис. 9.1

Пример 9.1. Сколько разных стартовых шестерок можно образовать из числа 10 волейболистов?

Эти шестерки должны отличаться хотя бы одним игроком.

С = .

Можно составить 210 стартовых шестерок из команды в 10 человек.

Пример 9.2. Сколько разных пятизначных чисел можно составить из цифр 1;2;3;4;5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

Эти пятизначные числа должны отличаться только порядком расположения цифр.

Р₅=5! = 1·2·3·4·5=120.

Из цифр 1;2;3;4;5 можно составить 120 пятизначных чисел.

Пример 9.3. В группе 30 человек. Необходимо направить трех человек на конференцию. Сколькими способами можно образовать такую тройку?

Эти тройки делегатов должны отличаться хотя бы одним человеком. Тройку делегатов на конференцию можно образовать 4060 способами.

Алгебра событий

Вероятность объединения или сложения несовместных событий. Пусть n – общее число равновозможных элементарных событий, образующих пространство Е всех элементарных событий; m – число равновозможных элементарных событий благоприятствующих событию А; k – число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию В.

Теорема 10.1. Вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

Доказательство. По определению вероятности имеем:

Р (А)=

; Р(В)=

(рис. 10.1).

Рис. 10.1

По определению объединения (суммы) несовместных событий АUВ означает, что имеет место или А, или В. Но число благоприятствующих такому событию равно (m+k), поэтому (рис. 10.2):

Р(А+В) =

Рис. 10.2

Эта теорема может быть распространена на любое конечное числособытий.

Следствие 10.1. Если события А;В;С образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице.

(А+В+С) – достоверное событие

Р(А+В+С)=1 Þ Р(А)+Р(В)+Р(С)=1.

Следствие 10.2. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице (рис. 10.3).

(А+ ) – полная группа событий Þ

Р(А+ )=Р(А)+Р()=1 Þ Р(А)=1-Р();

Р(

)=1-Р(А).

Рис. 10.3

Пример 10.1. В лотерее выпущено 10000 билетов и установлено: 10 выигрышей по 200р.; 100 – 100р.; 500 – 25р. и 1000 – по 5 рублей, остальные без выигрыша. Гражданин купил один билет. Какова вероятность того, что он выиграет не меньше 25р.? Обозначим события:

Событие А – выигрыш не менее 25руб.

Событие В – выигрыш равен 25руб.

Событие С – выигрыш равен 100руб.

Событие D – выигрыш равен 200руб.

Так как куплен только один билет, то А=В U С U D, где В;С;D события попарно несовместимые, поэтому

Ответ. Вероятность события А в данном случае невелика – 6,1%.

Пример 10.2. Бросают две монеты. Чему равна вероятность появления хотя бы одного герба? Обозначим события:

Событие А – появление герба при подбрасывании первой монеты.

Событие В – появление герба при подбрасывании второй монеты.

Событие С – появление хотя бы одного герба.

С=АUВ, но Р(С) Р(А)+Р(В), т.к. события А и В совместимы. Но, если рассмотреть событие – выпадение герба не состоялось, то ( +С) – достоверное событие и Р()= , так как при подбрасывании двух монет могут произойти только события: ГГ (герб; герб); ЦЦ (цифра; цифра); ЦГ (цифра; герб); ГЦ (герб; цифра), поэтому Р()+Р(С)=1 Þ Р(С)=1-Р()=1- = .

Вероятность суммы совместных событий. Пусть m – число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию А; k – число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию В. Пусть среди (m+k) элементарных событий содержится ℓ элементарных событий, благоприятствующих и событию А, и событию В, т.е. (А ∩ В).

Если n – общее число равновозможных элементарных событий, образующих пространство Е всех элементарных событий (рис. 10.4), то

ℓ

Р(А)=

; Р(В)=

;

(А∩В)

Р(А ∩ В)=

Рис. 10.4

Теорема 10.2. Вероятность объединения двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(A U B)=Р(A)+Р(B)-Р(A ∩ B).

Доказательство: (АUВ) – событие, состоящее в появлении или события А, или события В, или того и другого вместе (рис. 10.5):

Р(А UВ)= = =P(А)+Р(В)-Р(А ∩ В)

Р(А U В) =

Рис. 10.5

что и требовалось доказать.

Пример 10.3. Подбрасываем две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба?

Событие А – выпадение герба при подбрасывании первой монеты.

Событие В – появление герба при подбрасывании второй монеты.

Р(A U B)=Р(A)+Р(B)-Р(A ∩ B)= .

Определение 10.1. Вероятность события В при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается Р(В/А); Р_А(В).

Определение 10.2. События А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет, т.е.

Р(В/А)=Р(В); Р(А/В)=Р(А);

Р_А(В)=Р(В); Р_В(А)=Р(А).

Определение 10.3. События А и В называются зависимыми, если выполняются неравенства Р_В(А) Р(А); Р_А(В) Р(В), т.е. вероятность одного события зависит от появления или не появления другого.

Теорема 10.3. ( Умножение зависимых событий). Вероятность пересечения двух зависимых событий А и В, т.е. вероятность совместного наступления А и В, равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло

Р(А ∩ В)=Р(А)·Р(В/А)=Р(В)·Р(А/В).

Доказательство: Пусть Е – пространство n элементарных событий (рис. 10.6).

Событию А – благоприятствует m элементарных событий.

Событию В – благоприятствует k элементарных событий.

Событию (А∩В) – благоприятствует ℓ элементарных событий.

Р(А ∩ В)= ; Р(А)= ; Р(В/А)= .