Генеральная совокупность и выборки

Определение 9.1. Генеральная совокупность без повторений – это набор некоторого конечного числа различных элементов а₁; а₂; …; а_n-1; а_n.

 

Примером генеральной совокупности может служить студенческая группа из n человек.

 

Определение 9.2. Выборкой объема m, где m £ n, называется произвольная группа из m элементов данной генеральной совокупности объема n.

 

Примером такой выборки является группа из m человек данной генеральной совокупности, изучающая английский или немецкий язык.

Каким минимальным признаком может отличаться одна выборка объема m от другой выборки такого же объема? Это их различие по крайней мере одним элементом или порядком расположения этих элементов.

 

Определение 9.3. Произведение натурального ряда чисел от 1 до n включительно называется факториалом числа n, т.е.

1·2·3·…·(n-1)·n=n!, причем принято считать 0!=1.

 

Определение 9.4. Размещениями без повторений из n элементов по m называются такие выборки, которые, имея по m элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения и обозначаются А .

 

Выведем формулу вычисления числа размещений . Пусть имеем n элементов. Первый элемент можно выбрать n способами. Второй элемент будем выбирать из оставшихся (n-1) элементов, поэтому второй элемент можно выбрать (n-1)способами. Тогда пары двух элементов можно образовать n·(n-1) способами. Третий элемент придется отбирать из оставшихся (n-2) элементов. Это можно сделать (n-2) способами. Тогда тройки элементов можно образовать n·(n-1)·(n-2) способами и так далее. Размещения по m элементов можно образовать

 

n·(n-1)·(n-2)·…·(n-(m-1))=n·(n-1)·(n-2)·…·(n-m+1) способами.

 

Значит

А =n·(n-1)·(n-2)·…·(n-m+1) (1)

Если правую часть этого равенства умножим и разделим на произведение 1·2·3·(n-m-1)·(n-m), то получим равенство:

 

(2)

 

Это две формулы для вычисления числа размещений из n по m элементов в каждом, но вторая формула более удобна для запоминания.

В случае, когда m=n, одно размещение от другого отличается только порядком расположения элементов.

 

Определение 9.5. Перестановками без повторений из n элементов называются такие выборки из n элементов по n в каждой, которые содержат все n элементов и отличаются друг от друга только порядком расположения элементов и обозначаются

Формула для вычисления числа перестановок из n элементов имеет вид

 

Р_n=1·2·3·…·(n-2)·(n-1)·n=n!.

Определение 9.6. Сочетаниями без повторений из n элементов по m называются такие выборки, которые, имея по m элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, отличающихся друг от друга хотя бы одним элементом, т.е. составом элементов, и обозначаются С .

 

При m=n C =1.

 

В каждом из С сочетаний имеется m различных элементов, поэтому для каждого сочетания можно получить Р_m перестановок. Совокупность всех выборок, полученных путем построения всех перестановок на базе каждого из С сочетаний, представляет собой число размещений А , т.е.

С ·Р_m=А ,

откуда

 

– это формула для вычисления числа сочетаний из n элементов по m элементов в каждом.

Одним из примеров размещений без повторений является совокупность трехзначных номеров, в каждом из которых нет повторения цифр.

Примером перестановок без повторений является совокупность всех десятизначных номеров, в каждом из которых нет повторения цифр.

Примером сочетаний без повторений являются всевозможные варианты состава делегации в количестве, например, трех человек от коллектива, в котором 10 человек.

Таким образом имеем (рис. 9.1):

 

Рис. 9.1

 

Пример 9.1. Сколько разных стартовых шестерок можно образовать из числа 10 волейболистов?

Эти шестерки должны отличаться хотя бы одним игроком.

 

С = .

 

Можно составить 210 стартовых шестерок из команды в 10 человек.

 

Пример 9.2. Сколько разных пятизначных чисел можно составить из цифр 1;2;3;4;5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

Эти пятизначные числа должны отличаться только порядком расположения цифр.

Р₅=5! = 1·2·3·4·5=120.

 

Из цифр 1;2;3;4;5 можно составить 120 пятизначных чисел.

 

Пример 9.3. В группе 30 человек. Необходимо направить трех человек на конференцию. Сколькими способами можно образовать такую тройку?

 

.

 

Эти тройки делегатов должны отличаться хотя бы одним человеком. Тройку делегатов на конференцию можно образовать 4060 способами.

 

Алгебра событий

 

Вероятность объединения или сложения несовместных событий. Пусть n – общее число равновозможных элементарных событий, образующих пространство Е всех элементарных событий; m – число равновозможных элементарных событий благоприятствующих событию А; k – число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию В.

 

А

m

Е

Теорема 10.1. Вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

 

 

Е

Доказательство. По определению вероятности имеем:

n

k

m

Р (А)= ; Р(В)= (рис. 10.1).

 

Рис. 10.1

По определению объединения (суммы) несовместных событий АUВ означает, что имеет место или А, или В. Но число благоприятствующих такому событию равно (m+k), поэтому (рис. 10.2):

 

+

k

m

Р(А+В) =

 

 

Рис. 10.2

 

Эта теорема может быть распространена на любое конечное числособытий.

 

Следствие 10.1. Если события А;В;С образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице.

(А+В+С) – достоверное событие

Р(А+В+С)=1 Þ Р(А)+Р(В)+Р(С)=1.

 

Следствие 10.2. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице (рис. 10.3).

(А+ ) – полная группа событий Þ

Р(А+ )=Р(А)+Р()=1 Þ Р(А)=1-Р();

А

Е

Р()=1-Р(А).

 

 

Рис. 10.3

Пример 10.1. В лотерее выпущено 10000 билетов и установлено: 10 выигрышей по 200р.; 100 – 100р.; 500 – 25р. и 1000 – по 5 рублей, остальные без выигрыша. Гражданин купил один билет. Какова вероятность того, что он выиграет не меньше 25р.? Обозначим события:

Событие А – выигрыш не менее 25руб.

Событие В – выигрыш равен 25руб.

Событие С – выигрыш равен 100руб.

Событие D – выигрыш равен 200руб.

Так как куплен только один билет, то А=В U С U D, где В;С;D события попарно несовместимые, поэтому

 

Ответ. Вероятность события А в данном случае невелика – 6,1%.

 

Пример 10.2. Бросают две монеты. Чему равна вероятность появления хотя бы одного герба? Обозначим события:

Событие А – появление герба при подбрасывании первой монеты.

Событие В – появление герба при подбрасывании второй монеты.

Событие С – появление хотя бы одного герба.

С=АUВ, но Р(С) Р(А)+Р(В), т.к. события А и В совместимы. Но, если рассмотреть событие – выпадение герба не состоялось, то ( +С) – достоверное событие и Р()= , так как при подбрасывании двух монет могут произойти только события: ГГ (герб; герб); ЦЦ (цифра; цифра); ЦГ (цифра; герб); ГЦ (герб; цифра), поэтому Р()+Р(С)=1 Þ Р(С)=1-Р()=1- = .

Вероятность суммы совместных событий. Пусть m – число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию А; k – число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию В. Пусть среди (m+k) элементарных событий содержится ℓ элементарных событий, благоприятствующих и событию А, и событию В, т.е. (А ∩ В).

Если n – общее число равновозможных элементарных событий, образующих пространство Е всех элементарных событий (рис. 10.4), то

 

А

E

ℓ

Р(А)= ; Р(В)= ;

k

m

(А∩В)

n

Р(А ∩ В)= .

 

Рис. 10.4

 

Теорема 10.2. Вероятность объединения двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

 

Р(A U B)=Р(A)+Р(B)-Р(A ∩ B).

 

Доказательство: (АUВ) – событие, состоящее в появлении или события А, или события В, или того и другого вместе (рис. 10.5):

 

Р(А UВ)= = =P(А)+Р(В)-Р(А ∩ В)

 

 

n

Р(А U В) =

 

Рис. 10.5

 

что и требовалось доказать.

 

Пример 10.3. Подбрасываем две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба?

Событие А – выпадение герба при подбрасывании первой монеты.

Событие В – появление герба при подбрасывании второй монеты.

Р(A U B)=Р(A)+Р(B)-Р(A ∩ B)= .

 

Определение 10.1. Вероятность события В при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается Р(В/А); Р_А(В).

 

Определение 10.2. События А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет, т.е.

 

Р(В/А)=Р(В); Р(А/В)=Р(А);

 

Р_А(В)=Р(В); Р_В(А)=Р(А).

 

Определение 10.3. События А и В называются зависимыми, если выполняются неравенства Р_В(А) Р(А); Р_А(В) Р(В), т.е. вероятность одного события зависит от появления или не появления другого.

 

Теорема 10.3. ( Умножение зависимых событий). Вероятность пересечения двух зависимых событий А и В, т.е. вероятность совместного наступления А и В, равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло

 

Р(А ∩ В)=Р(А)·Р(В/А)=Р(В)·Р(А/В).

 

Доказательство: Пусть Е – пространство n элементарных событий (рис. 10.6).

Событию А – благоприятствует m элементарных событий.

Событию В – благоприятствует k элементарных событий.

Событию (А∩В) – благоприятствует ℓ элементарных событий.

 

Р(А ∩ В)= ; Р(А)= ; Р(В/А)= .

 

 

n

 

Рис. 10.6

 

Тогда

 

Р(A∩B)=Р(A)·Р(B/A).

 

Пример 10.4. В ящике 10 белых и 7 черных шаров. Последовательно вынимаем один за другим два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые?

Событие А – первый вынутый шар белый.

Событие В – второй вынутый шар белый.

(А∩В) – оба вынутых шара белые.

Р(А∩В)=Р(А)·Р(В/А)= = .

А и В – зависимые события.

 

Теорема 10.4 (Умножение независимых событий). Вероятность пересечения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

 

Р(А ∩ В)=Р(А)·Р(В).

 

Пример 10.5. Бросают две игральные кости. Какова вероятность того, что на первой кости появится нечетное число очков и на второй пять очков?

Событие А – появление нечетного числа очков на первой кости: (1;3;5).

Событие В – появление 5 очков при бросании второй кости.

А и В – совместные и независимые события.

Р(А ∩ В)=Р(А)·Р(В)= = .