События и их классификация

 

Человека окружает мир событий. Он часто замечает такой факт: одни события при реализации данного комплекса условий непременно происходят, другие же могут произойти, а могут и не произойти. Рассмотрим группу таких событий.

 

Событие	Реализация комплекса условий	Исход
А1	При нагревании проволоки	Ее длина увеличилась
А2	При бросании игральной кости	Выпали 4 очка
А3	При бросании монеты	Выпал герб
А4	При осмотре почтового ящика	Найдены три письма
А5	При низкой температуре	Вода превратилась в лед

 

Про события А₁ и А₅ мы вынуждены сказать, что они произойдут закономерно, а про А₂; А₃; А₄ – что они могли произойти, но могло быть и иначе, т.е. мы ощущаем случайность событий А₂; А₃; А₄. Значит, событие – это исход наблюдения или эксперимента, когда оно при реализации данного комплекса условий может произойти, а может и не произойти, есть случайное событие.

 

Определение 2.1. Испытание, эксперимент, наблюдение или опыт – это осуществление определенного комплекса условий, при которых производится испытание.

 

Определение 2.2. Случайным событием называется такой исход наблюдения или эксперимента, который при реализации данного комплекса условий может произойти, а может и не произойти, т.е. это качественный результат эксперимента или экспериментов, если они повторяются многократно.

 

Обозначаются события заглавными буквами латинского алфавита: А; В; С; D;….

Представим себе, что некоторый прямоугольник Е мы разрезали на n прямоугольных пронумерованных карточек ℓ_i (i=1;…;n).

 

				ℓ5			ℓ7
E	ℓi
			ℓ1			ℓn

 

Испытание S будет состоять в том, что после хорошей перетасовки одну карточку наугад вытаскиваем из всей стопки.

При такой операции:

 

1) одно из событий “вытащена одна карточка” непременно произойдет;

 

2) при одном испытании вытаскивание одной из карточек проявляется в одном и только в одном исходе, т.е. если была вытащена карточка №17, т.е. произошло событие ℓ₁₇, то в это же время не может произойти событие ℓ₅, состоящее в вытаскивании карточки №5.

 

Событие ℓ_i, состоящее в появлении карточки с номером i = 1,2,…, n, служит примером элементарных событий, а прямоугольник Е – пространством элементарных событий, связанных с реализацией испытания S – вытаскиванием случайной карточки после тщательной перетасовки.

 

Пусть теперь пространство элементарных событий Е, определенное бросанием игральной кости, представляет событие, где ℓ_i выпало i очков =1,2;…;6.

 

	E

 

 

ℓ1

ℓ2

ℓ3

ℓ4

ℓ5

ℓ6

 

Рассмотрим события:

 

1) А – выпало четное число очков;

2) В – выпало не меньше двух очков;

3) С – выпало не больше двух очков.

 

Событие А произошло, если произошло одно из элементарных событий: ℓ₂; ℓ₄; ℓ₆, которые ему благоприятствуют.

Событие В произошло, если произошли элементарные события: ℓ₂; ℓ₃; ℓ₄; ℓ₅;ℓ₆, благоприятствующие ему.

Событие С произошло, если произошли ℓ₁; ℓ₂, благоприятствующие ему.

 

Определение 2.3. Возможные, исключающие друг друга, результаты одного испытания называются элементарными событиями.

 

Определение 2.4. Элементарные события, которые благоприятствуют появлению события А, называются благоприятствующими событию А.

 

Значит, событие А можно рассматривать как подпространство ему благоприятствующих элементарных событий (ℓ₂; ℓ₄; ℓ₆).

Событие В – как подпространство ему благоприятствующих элементарных событий (ℓ₂; ℓ₃; ℓ₄; ℓ₅;ℓ₆).

Событие С – как подпространство ему благоприятствующих элементарных событий (ℓ₁; ℓ₂).

 

Виды событий

 

Рассмотрим пример. На трех карточках проставлены цифры 1; 2; 3. После перетасовки карточек по очереди выстраиваем их в один ряд. Получается трехзначное число ℒ. Пространство элементарных событий Е представляет собой событие ℓ_i, где i = 1; 2; …; 6.

	E

ℓ1 ℒ=123

ℓ2 ℒ=213

ℓ3 ℒ=312

ℓ4 ℒ=231

ℓ5 ℒ=132

ℓ6 ℒ=321

 

На этом пространстве Е рассмотрим события: А – получилось число ℒ < 123;

В – получилось число ℒ ³123.

Испытание S – после перетасовки карточки выстраиваем в один ряд.

 

Определение 3.1. Если среди элементарных событий пространства Е, определяемого испытанием S, нет ни одного элементарного события, благоприятствующего событию А, то оно называется невозможным по отношению к испытанию S.

 

Определение 3.2. Если все элементарные события пространства Е, определяемого испытанием S, благоприятствуют событию В, то событие В называется достоверным по отношению к испытанию S.

 

Иначе говоря: событие, которое в результате испытания является единственно возможным его исходом, называется достоверным. Если при испытании событие заведомо произойти не может, то оно называется невозможным.

 

Пример 3.1. Достоверные события: А – выплата рубля шестью монетами;

В – наугад выбранное трехзначное число не больше 1000.

 

Невозможные события: С – выплата 10 рублей четырьмя купюрами.

 

В нашем примере:

Событие А – получилось число ℒ<123 – это невозможное событие.

Событие В – получилось число ℒ≥ 123 – это достоверное событие.

 

Операции над событиями

 

Между событиями соблюдаются отношения, аналогичные отношениям “больше”, “меньше” или “равно”, как и между числами.

 

Объединение (U)

A

ℓ1	ℓ2	ℓ3
E		ℓ4	ℓ6	ℓ7		ℓ9	С= АUВ ℓ10
	ℓ5				ℓ8	ℓ11	ℓ12

B

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события ℓ₁; ℓ₂;…; ℓ₇, а событию В – элементарные события ℓ₈; ℓ₉;…; ℓ₁₂. Пусть событию С = АUВ благоприятствуют элементарные события ℓ₁; ℓ₂;…; ℓ₁₁; ℓ₁₂.

Событие С называют объединением событий А и В, это означает, что произошло или А, или В.

A

ℓ1	ℓ2	ℓ3
E ℓ4	ℓ5	ℓ6	ℓ7
			ℓ8	ℓ9	ℓ10
			B

 

Событию А→благоприятствуют элементарные события ℓ₁; ℓ₂;…; ℓ₆; ℓ₇.

Событию В→ℓ₆; ℓ₇; ℓ₈; ℓ₉;ℓ₁₀.

С= АUВ → элементарные события ℓ₁; ℓ₂; …ℓ₁₀.

События ℓ₆; ℓ₇ и А и В.

Значит событие С означает, что произошло или А; или В; или и то и другое вместе.

Определение 4.1. Объединением событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А и В.

 

Определение 4.2. Объединением событий А₁; А₂;…; А_n называется событие А, состоящие в появлении хотя бы одного из событий А₁; А₂;…; А_n, т.е. или А₁; или А₂; …; или А_n, или несколько из них, или всех.

 

Пример 4.1. Куплен лотерейный билет – испытание S.

Событие А – выигрыш 10руб.

Событие В – выигрыш 20руб.

Событие С – выигрыш 30руб.

Событие D – выигрыш 40руб.

Событие К = АUВUСUD – выигрыш не более 40руб.

 

Пересечение (∩)

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события ℓ₁; ℓ₂; …;ℓ₇, а событию В- ℓ₆; ℓ₇;…; ℓ₁₀. Пусть событию С благоприятствуют элементарные события, заштрихованные дважды, т.е. ℓ₆; ℓ₇, значили произошло и событие А, и событие В.

E ℓ1	ℓ2	ℓ3	ℓ4	ℓ5	ℓ6	ℓ7
					B ℓ8	ℓ9	ℓ10

 

Определение 4.3. Пересечением двух событий А и В называется событие С, состоящее в одновременном появлении и события А, и события В, и обозначается С=А∩В.

 

Определение 4.4. Пересечением событий А₁; А₂; А₃; …; А_n называется событие А, состоящее в одновременном появлении всех (и А₁; и А₂; …; и А_n) событий А₁; А₂; …; А_n.

А= А₁∩А₂∩…∩А_n.

 

Пример 4.2. Испытание – в подъезд входит человек.

Событие А – входящий в подъезд человек – мужчина.

Событие В – входящий в подъезд человек – светловолосый.

Событие С – входящий в подъезд человек – светловолосый мужчина.

Событие С происходит только при одновременном исполнении событий А и В, поэтому С =А∩В.

 

Пример 4.3. Испытание S – произвольно выбираем два двузначных числа.

Событие А – выбранные числа кратные 2.

Событие В – выбранные числа кратные 3.

Событие С – выбранные числа кратные 6.

 

С=А ∩ В. Событие С происходит, если одновременно происходят события А и В. Если одно из событий А или В не произойдет, то не произойдет и событие С.

 

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события ℓ₁; ℓ₂; ℓ₃; ℓ₄, а событию В – ℓ₅; ℓ₆; ℓ₇ в результате испытания S.

E

ℓ1	ℓ2
ℓ3	ℓ4
A			ℓ5	ℓ6
		B		ℓ7

 

 

	Е

 

Ясно видно, что совместное осуществление А и В невозможно: элементарных событий, благоприятствующих и тому, и другому событию, нет. А∩В=Æ – невозможное событие.

 

Определение 4.5. Два события А и В, пересечение которых – невозможное событие, называются несовместными событиями.

 

Определение 4.6. Два события в результате одного испытания называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого.

 

Определение 4.7. Объединением двух несовместных событий А и В называется событие С, осуществляющееся в появлении либо события А₁, либо события В.

 

Определение 4.8. Два события А и В называются совместимыми, когда существует по крайней мере одно элементарное событие, благоприятствующее и событию А, и событию В.

 

Определение 4.9. Два события называются совместными, если в результате одного испытания появление одного события не исключает появление другого.

Рассмотрим пары событий:

А₁ – выпадение герба при подбрасывании монеты;

А₂ – не выпадение герба при подбрасывании монеты;

В₁ – выздоровление больного;

В₂ – не выздоровление больного;

С₁ – появление новой кометы в текущем году;

С₂ – не появление новой кометы в текущем году.

 

Естественно, события в каждой из пар считать противоположными.

Любая из пар событий удовлетворяет следующим двум свойствам:

1. Объединение каждой пары событий – есть достоверное событие: А₁ UА₂; В₁UВ₂; С₁ U С₂.

2. Пересечение событий каждой пары – есть невозможное событие: А₁ ∩ А₂; В₁∩ В₂; С₁ ∩ С₂.

 

Тогда введем определение.

 

Определение 4.10. Если объединение событий А и В – достоверное событие, а пересечение – невозможное событие, то события А и В называются противоположными, т.е. А= или B= .

Значит, что события А и , т.е. противоположные события образуют полную группу событий. дополняет событие А в отношении всего пространства элементарных событий Е (рис. 5.1)

 

 

	А

Е