Дискретная случайная величина

Определение 13.6. Закон распределения дискретной случайной величины (д.с.в.) может быть задан рядом распределения, т.е. таблицей, где в верхней строке – все возможные значения д.с.в., а в нижней – соответствующие им вероятности, при этом , так как в результате испытания величина Х примет всегда одно из значений x _i, то p ₁ +p ₂ +…+p_n =1. Следовательно, события А_i «появление значения x_i» образуют полную группу событий.

X	x 1	x 2	…	xi	…	xn-1	xn
P	p 1	p 2	…	pi	…	pn-1	pn

Определение 13.7. Закон распределения д.с.в. Х можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки М ₁ (x ₁, p ₁); М ₂ (x ₂, p ₂);…; Мn (x_n, p_n), где x _i – возможные значения д.с.в. Х, а p _i – соответствующие вероятности, и соединяют их отрезками прямых.

 

Определение 13.8. Полученную фигуру называют многоугольником распределения или полигоном распределения д.с.в. Х.

 

Пример 13.4. Мишень состоит из 5 секторов и установлена так, что может вращаться вокруг оси О. При достаточно большой скорости вращения стрелок не может различать секторы мишени и вынужден стрелять наугад. При попадании вi-й сектор стрелок получает 2ⁱ призовых очков.

 

Пример 13.5. Мишень состоит из 5 секторов и установлена так, что может вращаться вокруг оси О. При достаточно большой скорости вращения стрелок не может различать секторы мишени и вынужден стрелять наугад. При попадании вi-й сектор стрелок получает 2ⁱ призовых очков (рис. 13.2).

 

 

Рис. 13.2

 

Пусть с.в. Х – это возможный выигрыш при попадании стрелка в мишень, которая может принимать значения: 2ⁱ;2²;2³;2⁴;2⁵,т.е. 2;4;8;16;32.

 

Закон распределения д.с.в. Х имеет вид:

 

№ сектора
X
P	0,5	0,25	0,125	0,0625

 

или это есть ряд распределения д.с.в. Х. Затем строим полигон распределения этой д.с.в. Х.

 

Полигон распределения д.с.в. X (рис. 13.3).

 

 

Рис. 13.3

 

Числовые характеристики дискретной случайной величины. Закон распределения полностью задает д.с.в., однако часто встречаются случаи, когда закон распределения д.с.в. неизвестен. В таких случаях д.с.в. изучают по ее числовым характеристикам.

 

Определение 13.9. Числа, которые суммарно описывают случайную величину, называют числовыми характеристиками случайной величины.

 

Важнейшими из них являются математическое ожидание и дисперсия.

 

Определение 13.10. Математическим ожиданием д.с.в. называется сумма произведений каждого значения этой случайной величины на соответствующую вероятность, т.е.

В нашем предыдущем примере:

 

 

 

Значит, средний выигрыш при одном выстреле составляет 6 очков.

Вероятностный смысл математического ожидания можно установить, сравнить его со средним арифметическим значением случайной величины.

 

 

При малом числе испытаний может сильно отличаться от

 

Теорема 13.1. Математическое ожидание д.с.в. приближенно равно среднему арифметическому всех ее значений при достаточно большом числе испытаний, т.е. при

 

Определение13.11. В практике называют средним значением д.с.в., т.е. это средняя оценка д.с.в., оно имеет ту же размерность, что и д.с.в.

 

Происхождение термина «математическое ожидание» связано с начальным периодом возникновения теории вероятностей в XVI–XVII веках, когда область ее применения ограничивалась азартными играми. Игрока интересовало среднее значение ожидаемого выигрыша, т.е. иными словами – математическое ожидание выигрыша.

 

Определение 13.12. Если производится серия из n испытаний, то есть такое постоянное число, около которого будут колебаться средние арифметические значения случайной величины, вычисленные для каждой серии испытаний.

 

Пусть – д.с.в. распределена по закону

 

X	x 1	x 2	x 3	…	xк
P	p 1	p 2	p 3	…	pк

 

1. Проводятся n испытаний. Среднее арифметическое значений x ₁; x ₂; …;x _k, которые принимала случайная величина соответственно m _{1 n}; m _{2 n}; m _{3 n};…; m _kn раз, равно

,

где – статистические частоты наступления событий т.е.

.

2. При возрастании n статистические частоты сосредотачиваются около соответствующих вероятностей

3. В результате этого значения сосредотачиваются около постоянного числа т.е. около математического ожидания д.с.в.

 

Определение 13.13. Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая величина.