Глава 35. Уравнение поверхности

Даны точки М₁(2; -3; 6), M₂(0; 7; 0), M₃(3; 2; -4), M₄(

; 4; -5), M₅(1; -4; -4), M₆(2; 6;

). Установить, какие из них лежат на поверхности, определенной уравнением

, и какие не лежат на ней? Какая поверхность определена данным уравнением?

На поверхности

найти точку, для которой: 1). Абсцисса равна, ордината рана 2; 2). Абсцисса равна 2, ордината равна 5, 3). Абсцисса равна 2, апликата равна 2; 4). Ордината равна 2, апликата равна 4.

Установить, какие геометрические образы определяются следующими уравениями в декартовых прямоугольных координатах пространства:

887.1

;

887.2

;

887.3

;

887.4

;

887.5

;

887.6

;

887.7

;

887.8

;

887.9

;

887.10

;

887.11

;

887.12

;

887.13

;

887.14

;

887.15

;

887.16

;

887.17

;

887.18

;

887.19

;

887.20

Даны две точки F₁(-c; 0; 0) и F₂(c; 0; 0). Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная, равная 2а при условии a>0, c>0; a>c. Задача 0888 Даны две точки F₁(—с; 0; 0) и F₂(c; 0; 0). Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых до двух данных точек есть величина постоянная, равная 2а при условии а>0, с>0; а>с.. Р е ш е н и е. Обозначим буквой М произвольную точку пространства, буквами х, у, z — её координаты. Так как точка М может занимать любое положение, то х, у и z являются переменными величинами; их называют текущими координатами. Точка М лежит на данной поверхности в том и только в том случае, когда MF₁ + MF₂ = 2a (1) Это есть определение поверхности, выраженное символически. Выразим MF₁ и MF₂ — через текущие координаты точки М: MF₁ =

, MF₂ =.

Подставим полученные выражения в равенство (1). Тем самым мы найдём уравнение

(2) которое связывает текущие координаты х, у, z. Это и есть уравнение данной поверхности. Действительно, для каждой точки М, лежащей на данной поверхности, выполняется условие (1) и, следовательно, координаты такой точки будут удовлетворять уравнению (2); для каждой точки, не лежащей на поверхности, условие (1) не будет выполняться и, следовательно, её координаты не будут удовлетворять уравнению (2). Таким образом, задача решена; дальнейшие выкладки имеют целью представить уравнение поверхности в более простом виде. Уединим в уравнении (2) первый радикал:

возведём обе части этого равенства в квадрат и раскроем скобки; мы получим: x² + 2cx+с²+y² + z² =4а² — 4а

или а

Снова, освобождаясь от радикала, найдём: a²x² — 2a²cx + а²с² + a² y² + a² z² = a⁴ — 2а²сх + с²x², или (а² — с²) х² + a²y² + a²2² = а² (а² — с²). (3) Так как а > с, то а² — с² > 0; положительное число a² — с² обозначим через b2. Тогда уравнение (3) примет вид b²x² + а²y + a²z² = a²b² или

Рассматриваемая поверхность называется эллипсоидом вращения. Уравнение (4) называется каноническим уравнением этого эллипсоида.

Вывести уравнение сферы, центр которой находится в начале координат и радиус которой равен r.

Вывести уравнение сферы, центр которой C(

) и радиус которой равен r.

Из точки P(2; 6; -5) проведены всевозможные лучи до пересечения с плоскостью Oxz. Составить уравнение геометрического места их середин.

Из точки А(3; -5; 7) проведены всевозможные лучи до пересечения с плоскостью Oxy. Составить уравнение геометрического места их середин.

Из точки С(-3; -5; 9) проведены всевозможные лучи до пересечения с плоскостью Oyz. Составить уравнение геометрического места их середин.

Вывести уравнение геометрического места точек, разность квадратов расстояний от которых до точек F₁(2; 3; -5), F₂(2; -7; -5) есть величина постоянная, равная 13.

Вывести уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух точек F₁(-a; 0; 0), F₂(a; 0; 0) равна постоянной величине

Вершины куба суть точки A(-a; -a; -a), B(a; -a; -a), C(-a; a; -a), D(a; a; a). Составить уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний от которых до граней этого куба есть величина постоянная, равная

Вывести уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух точек M₁(1; 2; -3), M₂(3; 2; 1).

Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний от которых до двух даных точек F₁(0; 0; -4), F₂(0; 0; 4) есть величина постоянная, равная 10.

Вывести уравнение геометрического места точек, разность расстояний от которых до двух данных точек F₁(0; -5; 0), F₂(0; 5; 0) есть величина постоянная, равная 6.

Глава 36. Уравнения линии. Задача о пересечении трех поверхностей

		Даны точки M₁(3; 4; -4), M₂(-3; 2; 4), M₃(-1; -4; 4), M₄(2; 3; -3). Определить, какие из них лежат на линии , и какие не лежат на ней.
		Определить, какие из следующих линий проходят через начало координат:
	901.1	, ;
	901.2	, ;
	901.3	, .
		На линии , найти точку:
	902.1	абсцисса которой равна 3;
	902.2	ордината которой равна 2;
	902.3	апликата которой равна 8.
		Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:
	903.1	, ;
	903.2	, ;
	903.3	, ;
	903.4	, ;
	903.5	, ;
	903.6	, ;
	903.7	, ;
	903.8	, ;
	903.9	, ;
	903.10	, ;
	903.11	, .
		Составить уравнения линии пересечения плоскости Oxz и сферы с центром в начале координат и радиусом, равным 3.
		Составить уравнения линии пересечения сферы, центр которой находится в начале координат и радиус раен 5, с плоскостью, параллельной плоскости Oxz и лежащей в левом полупространстве на расстоянии двух единиц от нее.
		Составить уравненя линии пересечения плоскости Oyz и сферы, центр которой находится в точке С(5; -2; 1) и радиус равен 13.
		Составить уравнения линии пересечения двух сфер, одна из которых имеет радиус, равный 6, и центр в начале координат; другая имеет радиус, равный 5, и центр С(1; -2; 2).
		Найти точки пересечения поверхностей , , .
		Найти точки пересечения поверхностей , , .