Глава 29. Понятие вектора. Проекция вектора

Вычислить модуль вектора

={6; 3; -2}.

Даны две координаты вектора X=4, Y=-12. Определить его третью координату Z при условии, что

=13.

Даны точки A(3; -1; 2), B(-1; 2; 1). Найти координаты векторов

Определить точку N, с которой совпадает конец вектора

={3; -1; 4}, если его начало совпадает с точкой М(1; 2; -3).

Определить начало вектора

={2; -3; -1}, если его конец совпадает с точкой (1; -1; 2).

Дан модуль вектора

=2 и углы

=45⁰,

=60⁰,

=120⁰. Вычислить проекции вектора

на координатные оси.

Вычислить направляющие косинусы вектора

={12; -15; -16}.

Вычислить направляющие косинусы вектора

={3/13; 4/13; 12/13}.

Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы:

756.1

=45⁰,

=60⁰,

=120⁰;

756.2

=45⁰,

=135⁰,

=60⁰;

756.3

=90⁰,

=150⁰,

=60⁰.

Может ли вектор составлять с двумя координатными осями следующие углы:

757.1

=30⁰,

=45⁰;

757.2

=60⁰,

=60⁰:

757.3

=150⁰,

=30⁰.

Вектор составляет с осями Ox и Oz углы

=120⁰ и

=45⁰. Какой угол он составляет с осью Oy?

Вектор

составляет с координатными осями Ox и Oy углы

=60⁰,

=120⁰. Вычислить его координаты при условии, что

=2.

Определить координаты точки М, если ее радиус-вектор составляет с координатными осями одинаковые углы и его модуль равен 3. Глава 30. Линейные операции над векторами

761		По данным векторам и построить каждый из следующих векторов: 1). , 2). , 3). , 4). .
762		Даны =13, =19 и =24. Вычислить .
763		Даны =11, =23 и =30. Определить .
764		Векторы и взаимно перпендикулярны, причем =5, =12. Определить и .
765		Векторы и образуют угол =60⁰, причем =5 и =8. Определить и .
766		Векторы и образуют угол =120⁰, причем =3 и =5. Определить и .
767		Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имели место следующие соотношения:
	767.1	;
	767.2	;
	767.3	.
768		Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы вектор делил пополам угол между векторами и .
769		По данным векторам и построить каждый из следующих векторов:
	769.1	;
	769.2	;
	769.3	;
	769.4	.
770		В треугольнике АВС вектор и вектор . Построить каждый из следующих векторов. Принимая в качестве масштабной единицы , построить также векторы:
	770.1	;
	770.2	;
	770.3	;
	770.4	;
	770.5	;
	770.6	.
771		Точка О является центром масс треугольника АВС. Доказать, что .
772		В правильном пятиугольнике ABCDE заданы векторы, совпадающие с его ребрами: , , , , . Построить векторы:
	772.1	;
	772.2	;
	772.3	.
773		В параллелепипеде ABCDA’B’C’D’ (рис.) заданы векторы, совпадающие с его ребрами: , , . Построить каждый из следующих векторов:
	773.1	;
	773.2	;
	773.3	;
	773.4	;
	773.5	.
774		Три силы , , , приложенные к одной точке, имеют взаимно перпендикулярные направления. Определить величину их равнодействующей , если известно, что =2Н, =10Н, =11Н.
775		Даны два вектора ={3; -2; 6}, ={-2; 1; 0}. Определить проекции на координатные оси следующих векторов:
	775.1	;
	775.2	;
	775.3	;
	775.4	;
	775.5	;
	775.6	.
776		Проверить коллинеарность векторов ={2; -1; 3} и ={-6; 3; -9}. Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположные стороны.
777		Определить, при каких значениях , векторы и коллинеарны.
778		Проверить, что четыре точки A(3; -1; 2), B(1; 2; -1), C(2; 2; -7), D(3; -5; 3) служат вершинами трапеции.
779		Даны точки A(-1; 5; -10}, B(5; -7; 8), C(2; 2; -7), D(5; -4; 2). Проверить, что векторы и коллинеарны, установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположные стороны.
780		Найти орт вектора ={6; -2; -3}.
781		Найти орт вектора ={3; 4; -12}.
782		Определить модули суммы и разности векторов ={3; -5; 8} и ={-1; 1; -4}.
783		Дано разложение вектора по базису , , : . Определить разложение по этому же базису вектора , параллельного вектору и противоположного с ним направления, при условии, что =75.
784		Два вектора ={2; -3; 6} и ={-1; 2; -2} приложены к одной точке. Определить координаты вектора направленного по биссектрисе угла между векторами и , при условии, что .
785		Векторы ={2; 6; -4} и ={4; 2; -2} совпадают со сторонами теругольника АВС. Определить координаты векторов, приложенных к вершинам треугольника и совпадающими с его медианами AM, BN, CP.
786		Доказать, что если и - какие угодно неколлинеарные векторы, то всякий вектор, лежащих в их плоскости, может быть представлен в виде . Доказать, что числа и однозначно определяются векторами , и .
787		На плоскостиданы два вектора ={2; -3}, ={1; 2}. Найи разложение вектора ={9; 4} по базису , .
788		На плоскости даны три вектора ={3; -2}, ={-2; 1}, ={7; -4}. Определить разложение каждого из этих трех векторов, принимая в качестве базиса два других.
789		Даны три вектора ={3; -1}, ={1; -2}, ={-1; 7}. Определить разложение вектора по базису , .
790		Принимая в качестве базиса векторы и , совпадающие со сторонами треугольника АВС, опреедлить разложение векторов, приложенных в вершинах треугольника и совпадающие с его медианами.
791		На плоскости даны етыре точки A(1; -2), B(2; 1), C(3; 2), D(-2; 3). Определить разложение векторов , , и , принимая в качестве базиса векторы и .
792		Доказать, что если , , - какие угодно некомпланарные векторы, то всякий вектор пространства может быть представлен в виде . Доказать, что числа , , однознчно определяются векторами , , , . (Представление вектора в виде называется разложением его по базису , , . Числа , , называются коэффициентами этого разложения.
793		Даны три вектора ={3; -2; 1}, ={-1; 1; -2}, ={2; 1; -3}. Найти разложение вектора ={11; -6; 5} по базису , , .
794		Даны четыре вектора ={2; 1; 0}, ={1; -2; 2}, ={2; 2; -1}, ={3; 7; -7}. Определить разложение каждого из этих четырех векторов, принимая в качестве базиса три остальных.