Из выражений (5.17) и (5.19) следует, что подвижность носителей заряда зависит от их скорости движения и параметров λ и ν, характеризующих механизмы рассеяния носителей в кристаллической решетке. В свою очередь центры рассеяния могут иметь самую различную природу. В реальном кристалле существует довольно много таких центров рассеяния, т.е. объектов, с которыми взаимодействуют электроны проводимости. Наиболее существенными механизмами рассеяния являются: рассеяние на фононах решетки, на ионизированных и нейтральных атомах примеси, рассеяние на дислокациях, электрон-электронное рассеяние и т.д. Подвижность электронов определяется совокупным действием указанных механизмов рассеяния.
В области высоких температур основную роль играет электрон-фононное рассеяние. Средняя длина свободного пробега в этом случае обратно пропорциональна концентрации фононного газа λ ~ 1/ nФ, а J Т ~ Т 1/2.
В свою очередь, концентрация фононного газа пропорциональна его температуре nФ ~ Т. С учетом приведенных зависимостей и (5.17) можно записать для невырожденного газа
μ ~ λ/JТ ~ Т -1/ Т 1/2 = Т -3/2. (5.21)
Поскольку для вырожденного электронного газа JФ практически не зависит от температуры, для этого случая можно записать
μ ~ λФ/JТФ ~ Т -1. (5.22)
Таким образом, в области высоких температур, когда основную роль играет электрон-фононное рассеяние, можно записать:
для невырожденного газа
μ = А 1 Т -3/2, (5.23)
а для вырожденного газа
μ = В 1 Т -1, (5.24)
где А 1 и В 1 – постоянные, слабо зависящие от температуры.
В области низких температур основное значение имеет рассеяние на ионизированных примесях. Этот процесс состоит в том, что ионы примеси отклоняют электроны, проходящие вблизи них. Резерфордом была получена формула для электрон-ионного взаимодействия
λ ~ J 4. (5.25)
Если подставить зависимость (5.25) в выражения (5.17) и (5.19), то можно записать:
для невырожденного газа:
μ ~ J 3 = А 2 Т 3/2, (5.26)
а для вырожденного газа соответственно
μ ~ λФ / JФ ~ JФ 2 = В 2 = const, (5.27)
где А 2и В 2 – постоянные величины.
Нейтральная примесь рассеивает носители заряда гораздо слабее, чем ионизированная. Однако в области низких температур необходимо учитывать этот механизм рассеяния, поскольку существует большая концентрация еще не ионизированных атомов примеси.
При рассеянии на нейтральной примеси важную роль играют два процесса: прямое упругое рассеяние и обменное рассеяние, когда падающий электрон обменивается местом с электроном на примесном центре. Время релаксации на нейтральных атомах примеси равно
, (5.28)
где a 1 – радиус первой боровской орбиты для внешнего электрона примеси;
NH – концентрация нейтральной примеси.
Обычно рассеяние на нейтральной примеси приводит ко времени релаксации, не зависящему ни от температуры, ни от энергии рассеиваемого электрона.
Дислокации в кристаллической решетке также приводят к рассеянию носителей заряда. В полупроводнике n-типа дислокация ведет себя подобно линейному отрицательному заряду, окруженному положительным зарядом. Такую дислокацию можно рассматривать как заряженный цилиндр. Величина радиуса цилиндра R зависит от концентрации носителей. Такие рассеяния можно характеризовать усредненным временем релаксации
, (5.29)
где N – плотность дислокаций;
J – скорость рассеиваемого электрона.
Если принять J = 105 м/с, R = 3∙10-7 м, N = 1010 м-2, то получим τд= 1,3∙10-9 с, т.е. время релаксации оказывается малым. Поэтому данный механизм рассеяния необходимо учитывать при низких температурах в собственных и слаболегированных полупроводниках.
Еще один механизм рассеяния связан со взаимодействием свободных электронов между собой (электрон-электронное рассеяние). Очевидно, что вероятность такого рассеяния должна возрастать с ростом концентрации носителей. Однако даже в сильнолегированных полупроводниках и металлах вклад этого типа рассеяния в общую картину невелик, поскольку массы взаимодействующих частиц почти равны и время релаксации гораздо меньше, чем в предыдущих типах рассеяния.
В реальных кристаллах одновременно действует несколько типов рассеяния, а вклад каждого типа в общую картину может сильно меняться с изменением температуры и концентрации носителей. Чаще всего, однако, основную роль в полупроводниках играют электрон-фононное и электрон-ионное рассеяние.
При одновременном действии нескольких независимых механизмов рассеяния результирующее время релаксации определяется из выражения
, (5.30)
где τi – время релаксации по i -ому механизму
Результирующая подвижность носителей в случае электрон-ионного и электрон-фононного типов рассеяния с учетом выражений для невырожденного газа (5.23) и (5.26) может быть определена как
. (5.31)
Эта зависимость подвижности от температуры приведена на графиках рис. 5.2, а. При малых температурах электрон-фононное рассеяние незначительно и подвижность носителей определяется электрон-ионным рассеянием. При возрастании температуры начинает работать второй механизм рассеяния, который вскоре и становится основным.
Необходимо отметить, что с ростом концентрации ионизированной примеси подвижность увеличивается, а максимум функции μ (Т) сдвигается в область больших температур и становится менее выраженным.
|
а) б)
Рис. 5.2. Зависимость подвижности носителей заряда от температуры и концентрации ионизированной примеси: а – невырожденный газ; б – вырожденный газ
Для вырожденного газа можно провести аналогичные рассуждения и записать выражение
, (5.32)
которое иллюстрируется графиком на рис. 5.2, б.
В заключение подчеркнем, что для экспериментального определения подвижности носителей используют три основных метода, которые в общем случае дают различные значения подвижности для одного и того же образца. Соответственно различают три вида подвижности: дрейфовую подвижность μд, измеряемую по изменению дрейфовой скорости в электрическом поле; омическую подвижность μп, определяемую по величине электропроводности; холловскую подвижность μх, которая измеряется на основе ЭДС Холла.
При электрон-фононном рассеянии в большинстве случаев μп = μд. В случае электрон-ионного рассеяния эти подвижности могут существенно различаться. Холловская подвижность обычно несколько больше для электронов и несколько меньше для дырок, чем дрейфовая подвижность.
