Условный экстремум функций нескольких переменных

51.1. Методом подстановки найти точки условного экстремума следующих функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) .

51.2. Методом множителей Лагранжа найти точки условного экстремума следующих функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) .

Занятие № 52.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функций нескольких переменных.

52.1. Найти наибольшее или наименьшее значения следующих функций на заданном множестве:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;
е) ;

ж) .
52.2. Найти расстояние между кривой и прямой .

52.3. Найти точку, сумма квадратов расстояний от которой до прямых наименьшее.

52.4. Найти наибольший объем прямоугольного параллелепипеда с заданной площадью его поверхности S.

52.5. Определить размеры прямоугольного параллелепипеда данного объема V, имеющего наименьшую площадь поверхности.

52.6. Из всех конусов с данной боковой поверхностью S найти конус с наибольшим объемом.

52.7. В полушар радиуса R вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.

Интегральное исчисление функций нескольких переменных.

Занятие № 53.

Двойные интегралы.

53.1. Для множества G, ограниченного линиями, или заданного неравенствами, записать двойной интеграл в виде повторных интегралов с разными порядками интегрирования:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) .

53.2. Изменить порядок интегрирования в повторных интегралах:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) .

53.3. Вычислить двойные интегралы:

Занятие № 54.

Замена переменных в двойных интегралах.

54.1. Перейдя к полярным координатам, вычислить интегралы:

 

54.2. Произведя соответствующую замену, вычислить следующие интегралы:

Занятие № 55.

Приложения двойного интеграла.

55.1. Найти площадь области, ограниченной кривыми:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

55.2. Найти объемы тел, ограниченных поверхностями:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

55.3. Найти площадь части сферы , заключенной внутри конуса .

55.4. Найти площадь поверхности .

55.5. Найти площадь части цилиндра , отсеченного плоскостями .

Занятие № 56.

Криволинейный интеграл.

56.1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по плоской кривой Г:

56.2. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по кривой Г, пробегаемой в направлении возрастания ее параметра x:

Ряды.

Занятие № 57.

Числовые ряды.

57.1. Найти сумму ряда:

57.2. Доказать расходимость ряда, используя необходимое условие сходимости:

а) ; б) ; в) ; г) .

57.3. Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость ряда:

а) ; б) ; в) ; г) .

57.4. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость ряда:

а) ; б) ; в) ; г) .

Занятие № 58.

Ряды с положительными членами.

58.1. Используя признак сравнения, исследовать на сходимость ряд :

58.2. Исследовать на сходимость ряд с помощью признака Даламбера:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

58.3. Исследовать на сходимость ряд с помощью признака Коши:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

58.4. Исследовать на сходимость ряд с помощью интегрального признака Коши:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

 

Занятие № 59.

Знакопеременные ряды.

59.1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму:

а) ;

б) ;

в)

59.1. Исследовать на абсолютную или условную сходимость знакопеременные ряды:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ;

з) ; и) ; к) .

59.3. Применяя признаки Абеля или Дирихле, исследовать ряды на абсолютную или условную сходимость:

а) ; б) ; в) ; г) .

Занятие № 60.