51.1. Методом подстановки найти точки условного экстремума следующих функций:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
;
ж) 
;
з) 
.
51.2. Методом множителей Лагранжа найти точки условного экстремума следующих функций:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
;
ж) 
;
з) 
.
Занятие № 52.
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функций нескольких переменных.
52.1. Найти наибольшее или наименьшее значения следующих функций на заданном множестве:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
;
ж) 
.
52.2. Найти расстояние между кривой 
и прямой 
.
52.3. Найти точку, сумма квадратов расстояний от которой до прямых 
наименьшее.
52.4. Найти наибольший объем прямоугольного параллелепипеда с заданной площадью его поверхности S.
52.5. Определить размеры прямоугольного параллелепипеда данного объема V, имеющего наименьшую площадь поверхности.
52.6. Из всех конусов с данной боковой поверхностью S найти конус с наибольшим объемом.
52.7. В полушар радиуса R вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
Интегральное исчисление функций нескольких переменных.
Занятие № 53.
Двойные интегралы.
53.1. Для множества G, ограниченного линиями, или заданного неравенствами, записать двойной интеграл 
в виде повторных интегралов с разными порядками интегрирования:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
;
ж) 
;
з) 
.
53.2. Изменить порядок интегрирования в повторных интегралах:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
;
ж) 
; з) 
.
53.3. Вычислить двойные интегралы:
Занятие № 54.
Замена переменных в двойных интегралах.
54.1. Перейдя к полярным координатам, вычислить интегралы:
54.2. Произведя соответствующую замену, вычислить следующие интегралы:
Занятие № 55.
Приложения двойного интеграла.
55.1. Найти площадь области, ограниченной кривыми:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) ;
е) 
.
55.2. Найти объемы тел, ограниченных поверхностями:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
.
55.3. Найти площадь части сферы 
, заключенной внутри конуса 
.
55.4. Найти площадь поверхности 
.
55.5. Найти площадь части цилиндра 
, отсеченного плоскостями 
.
Занятие № 56.
Криволинейный интеграл.
56.1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по плоской кривой Г:
56.2. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по кривой Г, пробегаемой в направлении возрастания ее параметра x:
Ряды.
Занятие № 57.
Числовые ряды.
57.1. Найти сумму ряда:
57.2. Доказать расходимость ряда, используя необходимое условие сходимости:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
57.3. Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость ряда:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
57.4. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость ряда:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Занятие № 58.
Ряды с положительными членами.
58.1. Используя признак сравнения, исследовать на сходимость ряд 
:
58.2. Исследовать на сходимость ряд с помощью признака Даламбера:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
; з) 
.
58.3. Исследовать на сходимость ряд с помощью признака Коши:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
; з) 
.
58.4. Исследовать на сходимость ряд с помощью интегрального признака Коши:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
; з) 
.
Занятие № 59.
Знакопеременные ряды.
59.1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму:
а) 
;
б) 
;
в) 
59.1. Исследовать на абсолютную или условную сходимость знакопеременные ряды:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
;
з) 
; и) 
; к) 
.
59.3. Применяя признаки Абеля или Дирихле, исследовать ряды на абсолютную или условную сходимость:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Занятие № 60.
