Функции нескольких переменных, их свойства и графики

45.1 Для функции найти:

а) ; б) ; в) .

45.2. Для функции найти:

а) ; б) ; в ; г) ;д) .

45.3. Найти область определения и множество значений функции . Построить график этой функции и линии уровня.

45.4. Найти и изобразить области определения следующих функций:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

45.5. Найти линии уровня данных функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

45.6. Найти поверхности уровня функции трех переменных:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Занятие № 46.

Пределы и непрерывность функции нескольких переменных.

46.1 Вычислить пределы , , :

а) ; б) ;

в) ; г) .

46.2. Вычислить пределы , , :

а) ; б) ;

в) .

46.3. Исследовать на непрерывность функции в точке (0;0):

а) ;

б) ;

в)

46.4. Найти и исследовать все точки разрыва функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Занятие № 47.

Частные производные и дифференциалы.

47.1. Найти частные производные первого порядка следующих функций:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) .

47.2. Найти частные производные первого и второго порядков следующих функций:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

47.3. Найти дифференциалы первого и второго порядков от следующих функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

47.4. Найти производные первого и второго порядков от следующих сложных функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

47.5. Найти дифференциалы первого и второго порядков от следующих сложных функций: а) ; б) ;

в) ; г) .

Занятие № 48.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

48.1. Написать уравнения касательной плоскости к поверхности:

а) в точке (1;-2;3);

б) в точке (2;3;2);

в) в точке (1;1;1);

г) в точке (3;4;1c).

48.2. Определить плоскость, касательную к поверхности и параллельную плоскости .

48.3. Написать уравнения нормали в точке (2; -1; 4) к поверхности конуса .

48.4. Найти углы с осями координат нормали к поверхности в точке (0; 2;-3).

48.5. Написать уравнения нормали к поверхности в точке (2; 5; 1).

48.6. Найти углы с осями координат нормали к поверхности в точке (3;3; 0)

48.7 В какой точке касательная плоскость к поверхности параллельна:

1) плоскости хОу;

2) плоскости ;

Написать уравнения этих касательных плоскостей.

Занятие № 49.

Производная по направлению. Градиент.

49.1 Пусть . Построить линии уровней и grad u в точке А(3;2).

49.2. Пусть . Построить линии уровней и grad u:

а) в любой точке прямой ;

б) в любой точке прямой .

49.3. Найти градиент функции в точке А(4;-2;7).

49.4. Найти производную функции в точке (1;1;1) в направлении вектора , и найти grad u в той же точке и его длину. Построить поверхности уровней.

49.5. Найти производную функции в точке (2;3; 4) в направлении радиус-вектора этой точки.

49.6. Построить линии уровня функции , проходящей через точку А(4;4). Построить grad u(4; 4) и убедиться, что он перпендикулярен линии уровня.

49.7. Для функции построить линии уровня и градиент. Сравнить их направления в точках (2;2) и (2;-2).

49.8. Найти угол между градиентами функции u в точках А и В, если:

а) ;

б) .

Занятие № 50.

Исследование функций нескольких переменных на экстремум.

50.1. Найти стационарные точки и исследовать на экстремум следующие функции:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

50.2. Исследовать на экстремум следующие функции нескольких переменных:

а) :

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

 

Занятие № 51.