Преобразование координат на плоскости

Приведение уравнений к каноническому виду.

14.1. Определить тип кривой второго порядка, составить ее каноническое уравнение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

14.2. Определить тип кривой приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

14.3. Определить тип кривой методом инвариантов:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

14.4. Составить уравнение линии, сумма расстояний точек которой до точек А (2,4) и

В (-4,4) равна 8.

14.5. Составить уравнение линии, каждая точка которой вдвое дальше от прямой , чем от точки Р .

Занятие № 15.

Плоскость в пространстве.

15.1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор

15.2. Найти угол между плоскостями

15.3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

15.4. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(5, 4, 1), В(4, -2, -1), С(0, 6, 5).

15.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р параллельно двум векторам , .

15.6. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к плоскостям x +2y – 2z = 1, x – 2y + z = 4.

15.7. Найти расстояние от точки М(1,3,1) до плоскости 2x – y – 2z – 3 = 0.

15.8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Р(3,-1,-2) и отсекающей на осях координат равные отрезки.

15.9. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M(1,0,2) и отсекающей на осях Ox и Oy отрезки a=2 и b=3.

15.10. Найти косинусы углов нормали плоскости 2x + y + 2z – 4 = 0 с осями координат.

15.11. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и через точку А(2;1;-1). 15.12. Вычислить расстояние от точки (-1, 1, -2) до плоскости, проходящей через три точки А(1, -1, 1), В(-2, 1, 3), С(4, -5, -2).

15.13. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости и отстоящих от нее на расстояние d = 5.

15.14. Тетраэдр задан координатами своих вершин: . Составить уравнения плоскостей, проходящих через: а) вершину D, параллельно грани ABC; б) вершину В, параллельно грани ADC; в) ребро АС, параллельно ребру BD; г) ребро ВС, параллельно ребру AD.

15.15. Даны координаты четырех вершин параллелепипеда : . Составить уравнения плоскостей, проходящих через: а) ребро , параллельно диагонали ; б) диагональ грани, параллельно диагонали ; в) диагональ грани, параллельно прямой .

 

Занятие № 16.

Прямая в пространстве.

16.1. Написать канонические уравнения прямой:

1) проходящей через две точки A(1,-1,3), B(2,1,-1),

2) проходящей через точку A(3,1,2) и параллельной вектору .

16.2. Найти косинус угла между прямыми:

и .

16.3. Найти расстояние точки M(2,-1,3) до прямой .

16.4. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку Р(2, -5, 3) и параллельной прямой .

16.5 Написать уравнения прямой в канонической и параметрической формах.

16.6. Даны вершины треугольника A(3,-1,-1), B(1,2,-7) и С(-5,14,-3). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине B.

16.7. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку А(-1,-3,2) и пересекает две прямые ; .

16.8. Исследовать взаимное расположение прямых и . Если прямые пересекаются, то определить координаты их точки пересечения:

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , .

16.9. Доказать, что прямые и пересекаются, и составить уравнение плоскости, которая их содержит:

а) , ;

б) , .

16.10. Доказать, что прямые и скрещиваются. Составить уравнения плоскостей, каждая из которых содержит одну из этих прямых и параллельна второй:

а) , ;

б) , .

16.11. Определить уравнение прямой, проходящей через точку М, пересекающей прямую и перпендикулярной к ней:)

а) ; б) .

16.12. Даны координаты вершин треугольника АВС. Составить уравнения его высот:

а) ; б) .

 

Занятие № 17.