1. Определение. Предел последовательности этих сумм при 
, если он существует, не зависит ни от способа разбиения кривой на дуги, ни от выбора точек tk, называется интегралом от функции w = f (z) по кривой L и обозначается
.
Контурный интеграл – это комплексное число.
Правило вычисления контурного интеграла:
1. Выделяем в подинтегральной функции действительную и мнимую части, т. е. представляем в виде f(z) = u(x,y) + i v(x,y);
2. Запишем dz = dx + i dy;
3. Составляем произведение f(z) на dz
f(z)dz = (u + iv)(dx +idy) = (udx – vdy) +i(vdx+udy;
4. Вычисляем интеграл вдоль L
Замечания:
1. Если кривая L – есть окружность или часть ее 
- уравнение этой окружности и функция f(z) непрерывна в каждой точке L, то переменная интегрирования z записывается в показательной форме:
z = R eiφ; dz = Reiφidφ
2. Если x = x(t), y = y(t),где 
- параметрические уравнения кривей L,
то z = x(t) + iy(t) называют комплексно – параметрическим уравнением
28). Найти: 
где L – ломаная 
;
29). Найти: 
30). Найти 
где L – отрезок FB: 
31). Найти 
, 
от т. 
до т. 
+1
32). Найти:
2. Формула Ньютона –Лейбница
,
где f(z) – аналитическая функция в области D, а z и z0 есть соответственно начальная и конечная точка пути интегрирования L.
Вычислить
33). 
34). 
, 35). 
, 36). 
, 37). 
.
Теорема Коши для односвязной области
Если функция w = f (z) - аналитическая в односвязной области D и на ее границе L, то, интеграл от f (z) по L равен нулю:
.
Если функция w = f (z) - аналитическая в многосвязной области D и на ее границе Г = L0 + L1 +…+ Ln, то справедливо равенство
- где L0 – внешний контур; здесь все контуры обходятся в одном направлении.
Интегральная формула Коши
Пусть w = f (z) аналитична в области D и на ее границе L, тогда для каждой точки 
имеет место формула
. При этом функция 
имеет всюду в 
производные любого порядка, для которых справедливы формулы
Из этих формул можно выразить интегралы:
- интеграл Коши
Следствие:
Вычислить следующие интегралы, пользуясь теоремой Коши, интегральной формулой Коши и формулами, полученными из интегральной формулы Коши дифференцированием.
Направление вдоль контура 
в этих задачах – против часовой стрелки.
38). 
, где - окружность: а) 
; б) 
.
39). 
, где 
.
40). 
, где 
а) 
; б) 
.
41). 
, где а) 
; б) 
.
42). 
, где 
.
43). 
, где 
.
44). 
, где а) 
: б) 
.
45). 
, где а) 
; б) .
46). 
, где а) ; б) 
.
Y. Особые точки. Вычеты.
Особые точки.
Точка 
называется особой точкой функции 
, если функция не аналитична в этой точке; и правильной, если в ней функция аналитична.
Особая точка функции называется изолированной, если в окрестности этой точки функция не имеет других особых точек
Если - изолированная особая точка функции , то в достаточно малом круге с выколотым центром 
функция будет аналитической и, следовательно, разлагается в ряд Лорана:
.
Изолированные особые точки бывают трех типов:
1) устранимые; 2) полюсы; 3) существенно особые точки.
Тип особых точек определяется либо по количеству членов в главной части ряда Лорана, либо по поведению функции в окрестности особой точки (см. таблицу 1).
Вычеты
Определение: Вычетом функции относительно точки называется число, определяемое равенством:
или 
,
где любой замкнутый контур, содержащий ; аналитическая на и в области, ограниченной , за исключением точки ; 
- первый коэффициент главной части ряда Лорана для функции в окрестности точки .
Формулы для вычетов относительно особых точек даны в таблице 1.
Таблица 1: Классификация особых точек и нахождение вычетов.
| № | Особые точки | Ряд Лорана с главной частью 
| Поведение в точке
| Формулы для нахождения вычетов 
|
| 1. | Устранимая | Нет главной части. | 
| 
|
| 2. | Простой полюс | В главной части одно слагаемое: 
| 
| 1)  2) 
|
| 3. | Полюс кратности | В главной части  слагаемых:  .
|
| 
|
| 4. | Существенно - особая | В главной части бесконечно много слагаемых | Не вуществует 
(неопределен - – ность)
| Разложить в ряд Лорана, 
|
Теоремы о вычетах.
Теорема 1. Если функция аналитична в области , за исключением изолированных особых точек 
, лежащих в этой области, то для любого простого замкнутого контура 
, охватывающего точки 
, 
.
Теорема 2. Если аналитическая во всей комплексной плоскости, за исключением изолированных особых точек 
и 
, то
.
47). Найти особые точки и указать их характер (для полюсов определить их порядок)
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
;
48). Найти вычеты функций в их особых точках.
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
;
49). Найти 
; если а) 
; б) 
; в) 
;
50). Найти 
, где 
;
51). Вычислить 
, где 
.
52). Найти 
, где 
.
53). Вычислить интеграл 
, где 
54). Найти 
, где ;
55). Найти 
, где ;
56). Найти 
, если а) 
; б) ; в) 
;
57). Вычислить 
, где 
58). Найти 
, где 
Вопросы по теме:
1. Комплексные числа. Действия с ними. Формы записи комплексных чисел.
2. Понятие области (определение, ограниченная область, граница области, многосвязные области)
3. Функция комплексного переменного (определение, область определения, область значения, предел и непрерывность)
4. Дифференцирование ФКП(понятие производной, понятие дифференциала, понятие аналитической функции, условие Эйлера – Даламбера)
5. Элементарные функции и их свойства*: степенная, показательная, логарифмическая тригонометрические, гиперболические, обобщенные степенная и показательная)
6. Интеграл от ФКП и его свойства. Вычисление контурного интеграла*
7. Теорема Коши для односвязной* и многосвязной области*
8. Независимость интеграла от формы пути интегрирования*
9. Понятие первообразной и неопределенного интеграла от ФКП. Формула Ньютона –Лейбница*
10. Интеграл Коши, интегральная формула Коши
11. Ряды Тейлора, Маклорена и Лорана.*
12. Нули аналитической функции*
13. Классификация особых точек (типы изолированных точек: устранимая, полюс, существенно- особая)*
14. Понятие вычета. Основная теорема о вычетах*
15. Вычет относительно полюса*
16. Применение вычетов (практика)
Знать все определения и основные понятия по теме. Уметь вычислять интегралы
Тема 6: Операционные исчисления
Литература:
1.Браславская Н. Б. «Операционные исчисления»
2. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2
