IY. Интеграл от функции комплексного переменного

1. Определение. Предел последовательности этих сумм при , если он существует, не зависит ни от способа разбиения кривой на дуги, ни от выбора точек t_k, называется интегралом от функции w = f (z) по кривой L и обозначается

.

Контурный интеграл – это комплексное число.

 

Правило вычисления контурного интеграла:

1. Выделяем в подинтегральной функции действительную и мнимую части, т. е. представляем в виде f(z) = u(x,y) + i v(x,y);

2. Запишем dz = dx + i dy;

3. Составляем произведение f(z) на dz

f(z)dz = (u + iv)(dx +idy) = (udx – vdy) +i(vdx+udy;

4. Вычисляем интеграл вдоль L

Замечания:

1. Если кривая L – есть окружность или часть ее - уравнение этой окружности и функция f(z) непрерывна в каждой точке L, то переменная интегрирования z записывается в показательной форме:

z = R e^iφ; dz = Re^iφidφ

2. Если x = x(t), y = y(t),где - параметрические уравнения кривей L,

то z = x(t) + iy(t) называют комплексно – параметрическим уравнением

28). Найти: где L – ломаная ;

29). Найти:

30). Найти где L – отрезок FB:

31). Найти , от т. до т. +1

32). Найти:

2. Формула Ньютона –Лейбница

,

где f(z) – аналитическая функция в области D, а z и z₀ есть соответственно начальная и конечная точка пути интегрирования L.

Вычислить

33). 34). , 35). , 36). , 37). .

Теорема Коши для односвязной области

Если функция w = f (z) - аналитическая в односвязной области D и на ее границе L, то, интеграл от f (z) по L равен нулю:

.

Если функция w = f (z) - аналитическая в многосвязной области D и на ее границе Г = L₀ + L₁ +…+ L_n, то справедливо равенство

- где L₀ – внешний контур; здесь все контуры обходятся в одном направлении.

 

Интегральная формула Коши

Пусть w = f (z) аналитична в области D и на ее границе L, тогда для каждой точки имеет место формула

. При этом функция имеет всюду в производные любого порядка, для которых справедливы формулы

Из этих формул можно выразить интегралы:

 

- интеграл Коши

 

Следствие:

Вычислить следующие интегралы, пользуясь теоремой Коши, интегральной формулой Коши и формулами, полученными из интегральной формулы Коши дифференцированием.

Направление вдоль контура в этих задачах – против часовой стрелки.

38). , где - окружность: а) ; б) .

39). , где .

40). , где а) ; б) .

41). , где а) ; б) .

42). , где .

43). , где .

44). , где а) : б) .

45). , где а) ; б) .

46). , где а) ; б) .

 

Y. Особые точки. Вычеты.

Особые точки.

Точка называется особой точкой функции , если функция не аналитична в этой точке; и правильной, если в ней функция аналитична.

Особая точка функции называется изолированной, если в окрестности этой точки функция не имеет других особых точек

Если - изолированная особая точка функции , то в достаточно малом круге с выколотым центром функция будет аналитической и, следовательно, разлагается в ряд Лорана:

.

Изолированные особые точки бывают трех типов:

1) устранимые; 2) полюсы; 3) существенно особые точки.

Тип особых точек определяется либо по количеству членов в главной части ряда Лорана, либо по поведению функции в окрестности особой точки (см. таблицу 1).

Вычеты

Определение: Вычетом функции относительно точки называется число, определяемое равенством:

или ,

где любой замкнутый контур, содержащий ; аналитическая на и в области, ограниченной , за исключением точки ; - первый коэффициент главной части ряда Лорана для функции в окрестности точки .

Формулы для вычетов относительно особых точек даны в таблице 1.

Таблица 1: Классификация особых точек и нахождение вычетов.

 

№	Особые точки	Ряд Лорана с главной частью	Поведение в точке	Формулы для нахождения вычетов
1.	Устранимая	Нет главной части.
2.	Простой полюс	В главной части одно слагаемое:		1) 2)
3.	Полюс кратности	В главной части слагаемых: .
4.	Существенно - особая	В главной части бесконечно много слагаемых	Не вуществует (неопределен - – ность)	Разложить в ряд Лорана,

Теоремы о вычетах.

Теорема 1. Если функция аналитична в области , за исключением изолированных особых точек , лежащих в этой области, то для любого простого замкнутого контура , охватывающего точки , .

Теорема 2. Если аналитическая во всей комплексной плоскости, за исключением изолированных особых точек и , то

.

 

47). Найти особые точки и указать их характер (для полюсов определить их порядок)

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

48). Найти вычеты функций в их особых точках.

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

49). Найти ; если а) ; б) ; в) ;

50). Найти , где ;

51). Вычислить , где .

52). Найти , где .

53). Вычислить интеграл , где

54). Найти , где ;

55). Найти , где ;

56). Найти , если а) ; б) ; в) ;

 

57). Вычислить , где

58). Найти , где

Вопросы по теме:

1. Комплексные числа. Действия с ними. Формы записи комплексных чисел.

2. Понятие области (определение, ограниченная область, граница области, многосвязные области)

3. Функция комплексного переменного (определение, область определения, область значения, предел и непрерывность)

4. Дифференцирование ФКП(понятие производной, понятие дифференциала, понятие аналитической функции, условие Эйлера – Даламбера)

5. Элементарные функции и их свойства*: степенная, показательная, логарифмическая тригонометрические, гиперболические, обобщенные степенная и показательная)

6. Интеграл от ФКП и его свойства. Вычисление контурного интеграла*

7. Теорема Коши для односвязной* и многосвязной области*

8. Независимость интеграла от формы пути интегрирования*

9. Понятие первообразной и неопределенного интеграла от ФКП. Формула Ньютона –Лейбница*

10. Интеграл Коши, интегральная формула Коши

11. Ряды Тейлора, Маклорена и Лорана.*

12. Нули аналитической функции*

13. Классификация особых точек (типы изолированных точек: устранимая, полюс, существенно- особая)*

14. Понятие вычета. Основная теорема о вычетах*

15. Вычет относительно полюса*

16. Применение вычетов (практика)

Знать все определения и основные понятия по теме. Уметь вычислять интегралы

 

Тема 6: Операционные исчисления

Литература:

1.Браславская Н. Б. «Операционные исчисления»

2. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2