№1. 
. №2. 
. №3. 
. №4. 
.
№5. 
. №6.. 
№7. 
. №8. 
.
№9. 
. №10. 
. №11. 
.
№12. 
. №13. 
.
Определение: Знакопостоянный числовой ряд-это такой ряд, все члены которого либо только положительные, либо отрицательные числа.
| № | Название | Формулировка | Примечание |
| Признак Д’Аламбера | Если у знакоположительного ряда  существует и конечен  , то, если  , ряд сходится;
если  ,то ряд расходится.
Замечание: Если  , то ряд расходится
| 1.Применяется, если общий член ряда содержит слагаемым или множителем  или  , или их вариации
2. Если  , вопрос о сходимости ряда остается открытым
| |
| Радикальный признак Коши | Если у знакоположительного ряда существует и конечен  , если , ряд сходится;
если ,то ряд расходится
| 1. Применяется, если общий член ряда целиком является n – ой (или n+1 – ой, 2n –ой…) степенью некоторого выражения 2. Если l = 1, вопрос о сходимости ряда остается открытым | |
| Интегральный признак Коши | Если функция  - непрерывная, положительная, убывающая при  и  , то ряд и несобственный интеграл  одновременно сходятся или расходятся.
| 1. Применяется, когда общий член  порождает функцию , первообразная которой находится без особого труда
|
Примерный план исследования знакоположительного ряда:
1. Определить вид ряда.
2. Находят (если это не трудно) 
:
а) если 
, то ряд расходится
б) если 
, то продолжаем исследование.
3. Устанавливаем путем анализа формулы общего члена какой из признаков целесообразнее применить, перебирая признаки в следующем порядке:
а) признак Д’Аламбера
б) радикальный признак Коши
в) интегральный признак Коши
г) признаки сравнения
4. Исследуем сходимость ряда по данному признаку
Степень роста выражений при 
1. 
2.
3. , 
4. 
, 
5. 
, 
Исследовать на сходимость №№ 14 – 18.
№14. 
. №15. 
. №16. 
. №17. 
.
№18. 
. №19. 
№20. 
№21. 
Знакопеременные ряды
Знакопеременные ряды – это числовые ряды, содержащие бесчисленное множество положительных и бесчисленное множество отрицательных членов
Определение: Знакопеременный ряд, у которого положительные и отрицательные члены ряда следуют строго друг за другом называется знакочередующимся
Теорема (Признак Лейбница)
Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда убывая стремятся к нулю, то такой ряд сходится и абсолютная величина его суммы не превосходит первого члена ряда.
Ряд, удовлетворяющий признаку Лейбница, называется рядом Лейбница или лейбницевским рядом. Он всегда сходится
Определение. Ряд 
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд 
.
Определение. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится.
№22. 
. №23. 
. №24. 
. №25. 
. №26. 
. №27. 
. №28. 
Степенные ряды
Определение: Ряд, все члены которого являются функциями одного и того же аргумента, называется функциональным.
Ряд, записанный в виде
называется степенным
План нахождение области сходимости:
1) Найдем радиус сходимости по одной из формул 
или 
2) Запишем интервал сходимости (-R: R),
3) Дополнительно исследуем сходимость заданного ряда в точках x = 
4) Записываем область сходимости исходного ряда.
Замечание:
Если исследуем ряд, расположенных по степеням (x – x0), где x0 ≠ 0, общий вид которого
то
выполним замену x – x0 = X, получим 
(1) и найдем область сходимости полученного ряда по плану, затем заменив X, найдем область сходимости исходного ряда
Найти область сходимости степенных рядов:
№29. 
. №30. 
. №31. 
.
№32. 
. №33. 
. №34. 
.
№35. 
. №36. 
. №37. 
.
№38. 
. №39. 
.
Разложить в ряд по степеням 
:
№40. 
№41. 
. №42. 
.
№43. 
. №44. 
. №45. 
.
№46. 
. №47. 
. №44. 
.
№45. 
. №46. 
. №47. 
.
Вопросы по теме «Ряды»
1. Основные понятия о числовых рядах. Свойства числовых рядов.
