Если f(x) - нечетная функция

Нечетная функция f(x), заданная на отрезке, симметричном относительно 0, разлагается в неполный ряд Фурье по синусам, т.е. в ряд вида

где

5) Ряд Фурье периодической функции с периодом 2l, заданной на отрезке имеет вид: где

6) Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид:

Для нечетной функции:

7) Разложение в ряд Фурье функций на отрезках и

Пусть F(x) непериодическая функция, заданная на отрезке И пусть она на этом отрезке удовлетворяет условиям Дирихле. Требуется разложить ее на данном отрезке в ряд Фурье. Продолжим функцию f(x) произвольным образом в интервале с сохранением условий Дирихле. Получим новую функцию F(x), определенную на отрезке и отвечающих в точках отрезка условиям Дирихле. Разложим F(x) на отрезке в ряд Фурье. Если полученное разложение взять только на отрезке оно будет искомым разложением, заданной функции f(x).

Самым простым является использование разложения по косинусам или синусам. Поэтому продолжать функцию f(x) в целесообразно либо четным или нечетным образом. Все сказанное имеет место и для f(x) на отрезке

Теорема Дирихле:

Если функция f(x) на отрезке удовлетворяет условиям Дирихле, то ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке отрезка

1) во внутренних точках непрерывности функции ряд сходится к самой функции, т. к. здесь f(x)= s(x)

2) В каждой внутренней точке разрыва x_k функции f(x) ряд сходится к среднему арифметическому предельных значений функции в этой точке слева и справа, те S(x_k) =

3) В обеих граничных точках x = ряд сходится к среднему арифметическому предельных значений функции в этих точках, когда x стремится к ним изнутри т.е.