Найти дивергенцию векторного поля

22. . 23. ..

24. . 25. .

26. . 27. , где - радиус-вектор.

28. Найти дивергенцию поля градиента функции .

 

29. Найти , где , .

 

Циркуляция

Определение: Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного

произведения вектора на вектор dr, касательный к контуру L, называется циркуляцией вектора а вдоль L

 

(1)

Другие формулы: (2) – для решения задач

30. Найти циркуляцию вектора в положительном направлении вдоль замкнутой кривой, образованной осями координат и первой четвертью астроиды .

 

31. Найти циркуляцию вектора в положительном направлении по замкнутой, составленной из верхней половины эллипса и отрезка оси .

 

32. Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру , образованному пересечением поверхности с плоскостями координат.

33. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль периметра треугольника с вершинами .

 

34. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль контура , являющегося линией пересечения поверхности с координатными плоскостями.

Ротор

Определение:

Ротором векторного поля называется вектор вида

Ротор удобно находить с помощью символического вектора

Найти ротор векторного поля

35. . 36. .

37. 38. .

39. . 40. .

 

Основные вопросы по теме:

«Элементы теории поля»

1. Векторная функция скалярного аргумента

2. Скалярное поле. Линии и поверхности поля.

3. Производная по направлению Вывод формулы

4. Градиент и его свойства

5. Векторное поле. Виды векторных полей.

6. Векторные линии и их уравнения.

7. Поток вектора и его различные формы записи. Физический смысл потока.

8. Поток вектора через замкнутую поверхность.

9. Дивергенция и ее свойства.

10.Формула Остроградского в векторной форме. Физический смысл дивергенции

11.Циркуляция векторного поля и ее различные формы записи. Физический смысл циркуляции.

12. Потенциальные поля и их свойства.

13.Ротор и его свойства. Формула Стокса в векторной форме.

14. Векторные дифференциальные операции.

Тема № 3 Ряды

Литература:

1. Мальцева «Числовые ряды»

2. Письменный «Конспект лекций по высшей математике» кн 2

3. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2

Знакоположительные ряды

Определение.

 

1. Числовым рядом называется выражение вида:

, где ;

2. Ряд задан, если известен закон по которому можно вычислить любой член ряда.

3. Конечная сумма n – первых членов называется частичной суммой ряда.

4. Ряд называется сходящимся, если существует конечный ;

6. Необходимый признак сходимости ряда

если ряд сходится, то ; обратное утверждение неверно.

7. Если или не существует, то ряд называется расходящимся

8. Ряд все члены которого либо положительные, либо отрицательные называется знакопостоянным.

9. Признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами

Дано: , - знакоположительные ряды, где при всех

 

		Если все члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго ряда, то если сходится второй ряд, то сходится и первый
		Если все члены первого ряда не меньше соответствующих членов второго ряда, то если расходится второй ряд, то расходится и первый
3		Если существует, конечен и отличен от нуля., то оба ряда либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся

Эталонные ряды

 

	Название	Формула	Поведение
	Ряд геометрической прогрессии
	Гармонический ряд
	Обобщенный гармонический ряд