Миндерова О. Н.
Сборник упражнений по высшей математике
Дифференциальные уравнения
Системы дифференциальных уравнений
Элементы теории поля
Ряды
ТФКП
Операционные исчисления
III семестр
Классы ___121,122_________
Прежде чем приступить к решению упражнений,
Выучи теорию,
Используя литературу и лекции по ВМ.
Без знания теории практика бессмысленна!!!!
Данный сборник не является источником теоретического материала, предназначен только для практических занятий.
2012-2013
Тема № 1 Дифференциальные уравнения
I. Дифференциальные уравнения первого порядка
Литература по теме:
1.Мачехина, Ильенок «ДУ первого порядка»
2. Письменный «Конспект лекций по высшей математике» кн 2
3. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2
Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции.
Решением или интегралом д/у называется любая функция, подстановка которой в уравнение обращает его в тождество
Процесс нахождения решения д/у называется интегрированием
Уравнения с разделяющимися переменными
Определение: Дифференциальное уравнение вида
(1)
называется уравнением с разделяющимися переменными
Или
(2)
Метод решения: (1)
1. Разделяем переменные, перенося слагаемые в разные стороны, получим уравнение 
2. Почленно делим обе части уравнения на 
, получаем уравнение с разделенными переменными 
3. Интегрируя обе части уравнения, получаем общее решение или интеграл исходного уравнения
4. Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.
Метод решения: (2)
1. Подставляем 
, затем приводим уравнение к форме (1) и используем метод решения рассмотренный ранее
Найти общее решение или общий интеграл уравнения
№1 ◦. 
№2 ◦. 
.
№3 ◦. y’ = cos(2x + 5) №4 ◦. 
№5 ◦. 
№6 ◦. 
№7 ◦. 
; 
№8 ◦. 
, 
№9 ◦. 
; 
№10. 
; 
.
№11•. 
№12•. 
№13•. №16•. 
№14• 
; 
№15•. • ;
Однородные уравнения
Определение: Уравнение вида 
является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одного измерения.
Уравнение 
- однородное, если функция f(x, y) – однородная нулевого измерения.
Метод решения
1. Вводим новую переменную 
, где 
- дифференцируемая функция
2. Находим 
; 
3. Получаем д/у с разделяющими переменными относительно функции u(x), решив его делаем обратную замену
Найти общее решение или общий интеграл уравнения
№16 ◦.. 
; 
№17 ◦. 
.
№18 ◦.. 
№19 ◦. 
№20 ◦. 
№21 ◦. 
№22 ◦. 
№23 ◦. 
№24•. 
. №25•. 
№26• 
. №27•. ; 
.
№28• 
; 
. №29•.
Линейные уравнения
Определение. Дифференциальное уравнение вида
P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b., в частности константы, называется линейным
Решение линейного уравнения ищем в виде 
, где u(x) и v(x) – дифференцируемые функции и 
Найти общее решение или общий интеграл уравнения
№30 ◦ 
. №31 ◦. 
№32 ◦. 
№33 ◦. 
№34 ◦. 
№35 ◦. 
№36 ◦. , . №37•. 
Уравнения Бернулли
Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида
где P и Q – функции от х в частности константы, а n 
R, n 
0 и n 1.
Решение уравнения Бернулли ищем в виде , где
№38 ◦. 
№39 ◦. 
№40•. 
№41 ◦. 
№42•. 
№43 ◦. 
№44 ◦. 
№45•. 
